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Moonspeech

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Forme quadratique et espace hyperbolique

Bonjour à tous, on se donne $q$ une forme quadratique non dégénérée sur E un K-espace vectoriel de dimension finie. On note $\phi$ sa forme polaire. On suppose qu’il existe un sous-espace $F$ de $E$ tel que $F^{\perp} = F$.

Il s’agit de montrer dans un premier temps que tout vecteur non nul de F est contenu dans un plan hyperbolique.

Je me donne donc $x$ un vecteur non nul de F. Je cherche $\alpha$ et $\beta$ tel que $x \in Vect(\alpha, \beta)$ et $\phi(\alpha, \alpha) = \phi(\beta,\beta) = 0$ et $\phi(\alpha,\beta) = 1$

On a déjà $\phi(x,x) = 0$ je prends donc $\alpha = x$.

De plus la forme linéaire $y \to \phi(x,y)$ est non nulle car q est non dégénérée donc il existe $y \in E$ tel que $\phi(x,y) = 1$.

Ce que j’aimerais maintenant montrer c’est que je peux prendre y tel que $\phi(y,y) =0$ ou justifier que c’est déjà le cas.

Comment puis-je m’y prendre pour cela ?

Merci d’avance pour votre aide.

Dernière modification par Moonspeech (18-02-2023 13:53:57)

Glozi

Invité

Re : Forme quadratique et espace hyperbolique

Bonjour,
Je pense que si $y$ ne fonctionne pas alors on pourrait considérer $y+tx$ avec un certain $t\in \mathbb{K}$ à la place. (mais cela n'a l'air de fonctionner que si $\text{car}(\mathbb{K}) \neq 2$...)
Bonne journée

Moonspeech

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Re : Forme quadratique et espace hyperbolique

Super merci pour votre conseil ! Je confirme qu’on était bien en caractéristique différente de 2. Bonne journée