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Bivalve

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Groupe abélien d'ordre pq ( p et q premiers distincts )

Bonjour à tous, voici l'énoncé de mon exercice :
" Soient p, q deux nombres premiers distincts et G un groupe abélien d'ordre pq. Montrer que G est cyclique "

Donc tout d'abord, nous remarquons que G admet un/des p-Slyow et q-Sylow ( d'ordre respectif p et q )
Supposons p > q et notons np le nombre de p-Sylow et nq le nombre de q Sylow.

On sait que np | q et np = 1 mod p. Comme p > q, on a donc np = 1
On sait aussi que nq | p et nq = 1 mod q, donc nq = 1 ou nq = p.

Pour nq = 1, il n'y a pas de soucis. On sait que le p-Sylow admet (p-1) éléments d'ordre p  ( car p est premier est seul 'e' est d'ordre 1 ). Pareil pour le q-Sylow qui admet (q-1) éléments d'ordre q.

On sait que pour x dans G, ordre(x) appartient dans { 1 ; q ; p ; pq }

G admet donc 1 élément d'ordre 1 (e), (p-1) élément d'ordre p et (q-1) élément d'ordre q. Donc il y a 1 + (p-1) + (q-1) = p+q-1 éléments d'ordre différent de pq. On sait que pq > p+q-1 car pq - ( p+q-1) = p(q-1) - (q-1) = (p-1)(q-1) > 0 car p > 1 et q > 1 ( car p et q sont premiers ).

Donc G admet forcément des éléments d'ordre pq car |G| = pq, donc G est cyclique.

C'est pour le cas ou nq = p qui pose problème. Je réalise le même raisonnement. On sait de plus que deux sous-groupes d'ordre premier égal sont soit égaux ou ont pour seul élément commun 'e' . Dong je trouve que G admet donc 1 élément d'ordre 1 (e), (p-1) élément d'ordre p et p(q-1) élément d'ordre q. Donc il y a 1 + (p-1) + p(q-1) = pq éléments d'ordre différent de pq. Mais comme |G| = pq, G n'est donc pas cyclique. Le cas nq = p n'est donc pas possible ?

Je me retrouve donc coincé. Je ne suis pas très bon en structure algébrique donc c'est possible que vous voyer plusieurs erreurs dans ma démonstration. Je vous remercie d'avance de vos retours !

Fred

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Re : Groupe abélien d'ordre pq ( p et q premiers distincts )

Bonjour,

  Est-ce que tu ne pourrais pas t'en sortir beaucoup plus facilement avec le théorème de Cauchy. Ton groupe contient un élément $x$ d'ordre $p$, un élément $y$ d'ordre $q$, et comme il est abélien, $xy$ est d'ordre $pq$.

F.

Bivalve

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Re : Groupe abélien d'ordre pq ( p et q premiers distincts )

Merci, j'oublie tout le temps ce théorème qui est quand même très utile !

bridgslam

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Re : Groupe abélien d'ordre pq ( p et q premiers distincts )

Bonjour,

Si on ne connaît pas le théorème de Cauchy, la question revient à montrer que si tout élément distinct du neutre est d'ordre p, on a une contradiction (idem pour q).
Dans ce cas, avec les hypothèses, G est muni trivialement d'une structure d'ev sur le corps Z/pZ, et serait donc de cardinal une puissance (sa dimension) de p, impossible car =pq.

A.

Bivalve

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Re : Groupe abélien d'ordre pq ( p et q premiers distincts )

Merci pour ta réponse, c'est vrai que prise sous cet angle, la question parait quand même plus facile.