Formules de polarisation du volume d'un parallélépipède rectangle

Borassus · 10-02-2023 01:39:59

Bonjour,

L'aire d'un rectangle est une forme bilinéaire symétrique, la forme quadratique associée est l'aire d'un carré, et les formules de polarisation sont :
xy = 1/2[x² + y² - (x - y)²].
xy = 1/2[(x + y)² -x² - y²]
xy = 1/4[(x + y)² - (x - y)²]

Le volume xyz d'un parallélépipède rectangle est une forme trilinéaire symétrique, la forme cubique associée étant le volume d'un cube.
Mais quelles sont alors les formules de polarisation ?

J'ai l'impression de par mes tâtonnements que, si l'énoncé de la question est simple, la réponse, si elle existe, ne semble pas vraiment simple.
Me trompé-je ?

Merci d'avance de vos réponses

Dernière modification par Borassus (10-02-2023 09:14:28)

Borassus · 10-02-2023 08:13:36

Le produit xyz provient du développement de (x + y + z)³.

Mais comment ensuite "se débarrasser" des termes x³, y³, z³, 3x²y, 3x²z, 3y²x, 3y²z, 3z²x, 3z²y ?

Michel Coste · 10-02-2023 08:52:42

Bonjour,
La polarisation d'une forme quadratique [tex]q(x)[/tex] peut se décrire de la manière suivante : on développe [tex]q(sx+ty)[/tex], et la moitié du coefficient de [tex]st[/tex] est la forme polaire [tex]b(x,y)[/tex].
Comparer avec [tex](sx+ty)^2= s^2x^2+ 2stxy + t^2y^2[/tex]
Et maintenant, essaie de voir ce que ça donne pour une forme cubique ...

Borassus · 10-02-2023 09:39:55

Bonjour Michel,

Merci de votre (ta ?) réponse.

Tout d'abord, je comprends avec surprise qu'en réalité il peut y avoir une infinité de formules de polarisation de degré 2 !
Par exemple, pour s = 1 et t = 2
xy = 1/2 [ (x + 2y)² - x² - 4y² ] / 2
Donc, les formules "classiques" sont définies au plus simple, avec s = 1 et t = 1 !

Bien sûr, je comprends que
xyz = 1/6 [ (x + y + z)³ - x³ - y³ - z³ - 3x²y - 3x²z - 3y²x - 3y²z - 3z²x - 3z²y ]

Mais tous ces produits de type 3 x terme² x terme ne sont pas des cubes !
Comment arriver à une formulation de xyz ne faisant intervenir que des cubes ??

PS : Il faut que je me mette au Latex. :-)

Michel Coste · 10-02-2023 10:19:21

Dajà une remarque : la polarisation du cube [tex]x^3[/tex] est la forme tri-linéaire symétrique [tex]x_1x_2x_3[/tex] : on a séparé les trois facteurs du cube. Ne trouves-tu pas que ça évoque la polarisation de la lumière dans un arc en ciel, qui décompose la lumière blanche en ses "facteurs" ?

Ensuite, on peut trouver une formule de polarisation d'une forme cubique [tex]c(x)[/tex] sur le modèle de la polarisation d'une forme quadratique [tex]q(x)[/tex] en [tex]\dfrac12(q(x_1+x_2)-q(x_1)-q(x_2))[/tex]. Ça commence en [tex]\dfrac16(c(x_1+x_2+x_3)-\ldots)[/tex], je te laisse trouver la suite.

Borassus · 10-02-2023 12:21:15

Ouf ! J'ai trouvé au moins une première formule de polarisation ! (Le calcul est quelque peu fastidieux, mais avec une bonne dose d'attention on y arrive.)

xyz = 1/6 [ (x + y + z)³ + x³ + y³ + z³ - (x + y)³ - (x + z)³ - (y + z)³ ]

Pour ce qui est de la comparaison avec la décomposition de la lumière blanche en facteurs, je comprends effectivement l'analogie judicieuse — une couleur monochromatique pure est polarisée, n'est-ce pas ? —, mais je préfère rester sur la logique de transformation d'une forme cubique dans sa forme polaire, en ne sachant pas, pour l'instant du moins, la raison de l'adjectif "polaire".

Donc, merci Michel !!

Les autres formules viendront dans mon prochain message.

Borassus · 10-02-2023 12:58:00

Borassus a écrit :

Les autres formules viendront dans mon prochain message.

Je crois que j'ai eu un petit accès d'optimisme : les cubes de différences sont plus difficiles à traiter. Pour l'instant, je patine.

Michel Coste · 10-02-2023 16:23:06

À mon avis, tu perds ton temps à vouloir faire un inventaire de formules de polarisation. Celle que tu as, et que j'écrirais plutôt
[tex]c(x_1+x_2+x_3)-c(x_1+x_2)-c(x_2+x_3)-c(x_3+x_1)+c(x_1+c(x_2)+c(x_3)[/tex]
parce que sous cette forme on devine comment "grimper en degré" me semble largement suffisante.

"la raison de l'adjectif "polaire"" tu ne la suras jamais, parce qu'il n'y a pas de raison mathématique. Je te l'ai déjà dit, je le répète.

Borassus · 10-02-2023 22:37:24

Effectivement, cette réorganisation est plus pertinente. Merci.

Aïe ! Je sens que je t'énerve. Je te prie de m'en excuser.

Je sais que mes entêtements sont coûteux en temps, mais je ne les considère jamais comme une perte de temps car leur résolution assoit mes compréhensions et, de plus, m'apporte une certaine satisfaction. Mais j'ai peut-être tort.

Je testerai avec mes élèves le parallèle avec la lumière.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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