Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

Borassus · 07-02-2023 11:45:13

Bonjour,

Pourquoi les formules de polarisation sont-elles appelés comme cela ? (Dans la mesure où elles traduisent une application bilinéaire symétrique en une expression faisant intervenir la forme quadratique, elles devraient à mon sens être appelées "formules de quadratisation".)

Pourquoi l'application bilinéaire correspondant à une forme quadratique donnée est-elle appelée "forme polaire" ? Que signifie ici "polaire" ?
Quel rapport, par exemple, avec "coordonnées polaires" ?

Et aussi, pourquoi "quadratique" ? Quels sont les sens en maths attribués à ce mot ?

Merci par avance de vos réponses

Michel Coste · 07-02-2023 14:02:05

Bonjour :

Commençons par "quadratique" : ça veut dire tout simplement "de degré 2". Une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2, une forme linéaire un polynôme homogène de degré 1, une forme cubique un polynôme homogène de degré 3, une forme quartique ....

Ensuite, le "polaire" n'a pas grand chose à voir avec les coordonnées polaires, mais plutôt avec le procédé de polarisation d'une forme de degré [tex]d[/tex] (ou polynôme homogène de degré [tex]d[/tex]) en une forme [tex]d[/tex]-linéaire. Voir ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Polarizat … braic_form

Borassus · 07-02-2023 15:03:31

Merci beaucoup pour votre réponse !

J'ai maintenant bien compris l'adjectif "quadratique" — ainsi que son étymologie latine : quadratus (« carré ») participe de quadrare (Wiktionnaire) — et j'ai aussi bien compris qu'une polarisation est une écriture permettant de convertir la forme bilinéaire associée à une forme quadratique en une expression n'utilisant que la forme quadratique.

Outre l'article que vous m'avez indiqué, j'ai trouvé celui-ci de Techno-Science.net https://www.techno-science.net/definition/5129.html qui m'a permis de bien comprendre ces concepts.

Ce que je ne comprends pas encore, c'est la raison même du mot "polarisation". Est-ce pour illustrer le fait que l'expression de B(x,y) fait intervenir les "pôles" que sont Q(x), Q(y), Q(x+y), Q(x-y) ?
"polarisation" aurait alors un sens similaire à celui de, par exemple, "polarisation de la vie politique d'un pays autour de deux partis" ?

Borassus · 07-02-2023 15:10:15

PS : Je n'ai pas compris comment répondre en tant que Borassus, et non en mon nom ? Si je mets mon pseudo, le système me répond que ce nom est déjà utilisé.

Michel Coste · 07-02-2023 17:39:56

"une polarisation est une écriture permettant de convertir la forme bilinéaire associée à une forme quadratique en une expression n'utilisant que la forme quadratique."
Non c'est un contresens ! La polarisation fait passer d'une forme quadratique à une forme bilinéaire symétrique et plus généralement d'une forme de degré [tex]d[/tex] à une forme [tex]d[/tex]-linéaire symétrique.
Vous faites preuve de pas mal d'imagination pour interpréter le terme "polarisation". À mon avis, il ne faut pas trop se casser la tête sur une prétendue signification de "polarisation" en dehors de la définition mathématique. Et s'il vous faut vraiment une intention derriére ce terme de "polarisation", ça serait plutôt du côté de la polarisation de la lumière.

Borassus · 07-02-2023 23:04:33

Merci de votre réponse et de me consacrer un peu de votre temps.

« La polarisation fait passer d'une forme quadratique à une forme bilinéaire symétrique. »
Compris.
Par exemple, la formule
B(x,x) = 1/2 [ Q(x) + Q(y) - Q(x -y) ]
fait passer de la forme quadratique Q à la forme bilinéaire symétrique B

Comme B est appelée "forme polaire" de Q, la formule ci-dessus "polarise" Q en B. (Je ne pense pas qu'il y ait un parallèle avec la polarisation de la lumière. Du moins je ne le perçois pas.)

Ma question se précise alors en « Pourquoi B, la forme polaire de Q, est-elle précisément appelée "polaire" ? »
De la même façon, pourquoi parle-t-on de forme polaire pour les nombres complexes ? (C'est pour cela que j'avais initialement fait le parallèle avec les coordonnées polaires.)

(Excusez-moi, ayant un long passé d'autodidacte — je n'ai quasiment jamais suivi de cours post-Bac en maths —, je déteste me voir imposer des appellations ou des formules que je ne comprends pas véritablement dans leur fondement logique, et suis tenace dans mes incompréhensions jusqu'à ce que je comprenne. Donc, oui, je me casse la tête, et espère ne pas trop casser la vôtre. :-)

Merci encore.

Michel Coste · 08-02-2023 10:13:53

Mais il n'y a pas de fondement logique à appeler "polarisation" cette opération de multilinéarisation qui transforme une forme [tex]q(u)[/tex] de degré [tex]d[/tex] en forme [tex]d[/tex]-linéaire symétrique [tex]m(u_1,\ldots,u_d)[/tex] telle que [tex]q(u)=m(u,\ldots,u)[/tex] !
Il y a plusieurs autres utilisations de la terminologie "polaire" en mathématiques. Vous avez pensé aux coordonnées polaires, mais il y a aussi la polaire d'un point par rapport à un cercle, etc.
À chaque fois il y a une définition précise, et il est vain de toujours chercher une raison logique à la terminologie fixée par l'usage. Par exemple, quelle serait la raison logique d'appeler "anneau" un anneau, "corps" un corps etc. ?
Je vous ai parlé de polarisation de la lumière. Je vois dans la polarisation d'une [tex]d[/tex]-forme en une forme [tex]d[/tex]-multilinéaire une parenté avec la décomposition de la lumière dans un arc-en-ciel, par exemple. Je ne sais pas si cette analogie a inspiré les mathématiciens qui ont introduit la terminologie "polarisation" dans cette situation.
Je le répète, vous perdez votre temps à toujours chercher une raison logique à telle ou telle terminologie. Il y a des fois où la terminologie coule de source (comme pour quadratique, cubique etc.) et des fois où elle s'est imposée par l'usage sans raison logique. Par exemple un "corps" ("Körper" en allemand) en mathématiques est la même chose qu'un "field" dans la terminologie anglaise ; quel rapport entre un corps et un champ ?
Vous devriez accorder plus d'importance à la notion elle-même (bien comprendre que la polarisation fait passer de la forme quadratique à la forme bilinéaire symétrique et pas dans l'autre sens), et moins faire de fixation sur la terminologie (qu'il faut connaître, bien sûr).

Borassus · 08-02-2023 22:10:13

Merci de ce message tout à fait pertinent. (L'exemple de "corps", "Körper" et "field", notamment, est effectivement parlant.)

Avant de réitérer mes remerciements, je crois qu'il est important que je présente le contexte de ma demande :

Après presque trente ans passées en tant que rédacteur technique indépendant — j'expliquais en détail l'utilisation de logiciels, machines, appareils professionnels véritablement complexes —, je me suis réorienté il y a un peu plus de dix ans en tant que prof de maths à domicile à plein temps — il y a quelques années, je tournais à quelque 40 heures de cours effectifs par semaine... ; j'ai depuis quelque peu réduit le rythme.

Mes élèves apprécient beaucoup mes façons d'expliquer, en constante évolution : je suis en effet très attentif à leur transmettre, oralement ou par écrit, la logique de fond des choses, et mieux je la comprends moi-même, plus je suis en mesure de la transmettre.
Or, une fois qu'ils comprennent la logique, au-delà des formules, de ce qu'ils voient en cours, ils acceptent de comprendre des notions et des exercices (bien) au-dessus de leur niveau scolaire officiel, et sont tout étonnés de résoudre facilement des exercices leur paraissant à première vue terrifiants. (« Mais c'est tout con ! »)

Désirant approfondir ma façon d'expliquer le produit scalaire à mes élèves de Première et de Terminale — je sais par expérience que cette notion fait classiquement partie de leurs principaux points durs —, j'ai voulu comprendre le fondement des formules de polarisation présentées ex abrupto, sans aucune explication, dans les manuels et dans les polycopiées de profs.

Grâce à vous, je saurai maintenant expliquer à mes élèves que le produit scalaire est un cas particulier d'une vision plus générale.
J'expliquerai — je rôde une nouvelle façon d'expliquer d'abord avec un(e) ou deux élèves avant d'en acquérir l'aisance — ce qu'est une forme linéaire, une forme bilinéaire symétrique, une forme quadratique.
J'expliquerai que la forme associée à une forme quadratique est appelée, pour une raison que pour l'instant j'ignore, "forme polaire de la forme quadratique", et qu'une formule permettant de passer d'une forme quadratique — en l'occurrence le carré d'une norme de vecteur — à la forme bilinéaire symétrique associée — en l'occurrence le produit scalaire de deux vecteurs — est appelée "formule de linéarisation".

Donc, doublement merci : merci pour moi, et merci pour mes élèves de Première et de Terminale !

Zebulor · 08-02-2023 22:21:35

Bonsoir Borassus,
un détail me laisse admiratif : ce sont vos 40 heures de cours par semaine !
Sur le fond et pour le reste un prof de mécanique dont j'ai retrouvé des livres par hasard dans une librairie nous disait : l'important c'est l'idée qu'on met derrière les mots.. ce qui rejoint ce qu'écrit Michel Coste.

Dernière modification par Zebulor (09-02-2023 09:37:41)

Borassus · 08-02-2023 22:21:55

Les éditeurs de manuels de maths ont fait machine arrière et partent de la définition avec le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs.
Certaines versions précédentes présentaient d'emblée comme définition du produit scalaire l'une ou l'autre des formules de polarisation principales ! Ploum !
Yeux écarquillés des élèves !

Borassus · 08-02-2023 22:38:00

Bonsoir Zebulor,

Merci d'avoir été admiratif ! :-)

Tout à fait ! C'est précisément l'idée qu'il y a derrière les mots, et surtout derrière les formules, que je cherche à comprendre pour mieux la transmettre.
Pour moi, l'essentiel est la logique de la formule, exprimée en français et le plus simplement possible, qui doit prévaloir sur la formule, qui doit simplement servir d'aide-mémoire et non de fondement.
Mais parfois la compréhension de la logique d'un mot permet de mieux comprendre la logique du concept qui lui est associé.

Michel Coste · 09-02-2023 00:05:30

est appelée "formule de linéarisation".

Non, formule de polarisation (ou de bilinéarisation, mais je ne l'ai jamais vu écrit ainsi).
Quant à introduire le produit scalaire aux élèves par polarisation à partir du carré de la norme, j'ai de sérieux doutes ...

Borassus · 09-02-2023 00:30:46

Je voulais bien évidemment écrire "formule de polarisation". :-)
C'est l'histoire du Kornprinz, du Knorprinz, citée, si je m'en souviens bien, par ce cher Sigmund. (Je crois qu'il s'agissait d'un journaliste incapable d'écrire correctement Kronprinz et rectifiant une forme incorrecte par une autre.)

« Quant à introduire le produit scalaire aux élèves par polarisation à partir du carré de la norme, j'ai de sérieux doutes... »
Je voyais les élèves complètement déroutés ! Souvent « Je n'ai rien compris ! »

Extrait du Repères 1ère S (hachette) "Nouveau programme", c'est-à-dire "Ancien programme" :
« Définition : Soit (sic) u et v deux vecteurs du plan.
On appelle produit scalaire de u et de v, noté u.v le nombre réel défini par
u.v = 1/2 [ ||u||² + ||v||² - ||u - v||² ] »

Dernière modification par Borassus (09-02-2023 00:32:41)

Fred · 09-02-2023 08:04:26

Bonjour,

Borassus a écrit :

Définition : Soit (sic) u et v deux vecteurs du plan.

Juste une remarque : on peut écrire indifféremment soient ou soit ici, les deux usages sont acceptés.

Cette question est traitée, dans la 13e édition du Bon Usage de Grevisse et Goosse, au § 901, sections d et e :

« Quand soit signifie supposons, prenons, il sert d’introducteur (§ 1045, c). Sa valeur verbale est assez estompée pour qu’on le laisse invariable, mais plus d’un auteur, surtout parmi les mathématiciens, continue à le traiter en verbe.

Jouette (Dictionnaire d’orthographe et d’expression écrite, éd. Le Robert) écrit à propos de soit :

« Soit deux cercles tangents. On n’écrit plus comme autrefois : Soient deux cercles tangents ; cette tournure est devenue un présentatif impersonnel, analogue à la conjonction et invariable. »

Source : https://www.question-orthographe.fr/que … ou-soient/

F.

Borassus · 09-02-2023 14:43:20

Fred a écrit :

on peut écrire indifféremment soient ou soit ici, les deux usages sont acceptés.
Cette question est traitée, dans la 13e édition du Bon Usage de Grevisse et Goosse, au § 901, sections d et e :
« Quand soit signifie supposons, prenons, il sert d’introducteur (§ 1045, c). Sa valeur verbale est assez estompée pour qu’on le laisse invariable, mais plus d’un auteur, surtout parmi les mathématiciens, continue à le traiter en verbe. »

Fichtre ! Merci, Fred, de cette précision !

J'ai vérifié dans mon Grévisse (papier) de la douzième édition : le texte est identique à votre extrait
Je continuerai cependant à mettre "Soient" en tant que "mini-mathématicien" :-), mais serai moins critique quant à la forme invariante.

Pour ce qui est "Vivent" ou "Vive" (alinéa e), je privilégie la forme plurielle, mais serai là aussi moins critique quant à la forme invariante.

Par contre, je ne connaissais pas le dictionnaire d'André Jouette.

Bonne journée.

Borassus · 09-02-2023 16:58:39

En dehors du produit scalaire, existe-t-il d'autres outils mathématiques, explicables à des lycéens, relevant d'un couple forme de degré d - forme d-linéaire ?

Borassus · 09-02-2023 21:08:59

Borassus a écrit :

En dehors du produit scalaire, existe-t-il d'autres outils mathématiques, explicables à des lycéens, relevant d'un couple forme de degré d - forme d-linéaire ?

Tout simplement, l'aire d'un rectangle, la forme quadratique associée étant l'aire d'un carré !
Les formules de polarisation sont donc :
xy = 1/2[x² + y² - (x - y)²].
xy = 1/2[(x + y)² -x² - y²]
xy = 1/4[(x + y)² - (x - y)²]

Le volume d'un parallélépipède rectangle est, en toute logique, une forme trilinéaire symétrique, la forme cubique associée étant le volume d'un cube.

Quelles sont alors les formules de polarisation ?

Borassus · 10-02-2023 01:41:34

J'ai pensé que cette question mérite un sujet à part, que j'ai édité sous le titre « Formules de polarisation du volume d'un parallélépipède rectangle »

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 07-02-2023 11:45:13

Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#2 07-02-2023 14:02:05

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#3 07-02-2023 15:03:31

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#4 07-02-2023 15:10:15

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#5 07-02-2023 17:39:56

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#6 07-02-2023 23:04:33

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#7 08-02-2023 10:13:53

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#8 08-02-2023 22:10:13

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#9 08-02-2023 22:21:35

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#10 08-02-2023 22:21:55

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#11 08-02-2023 22:38:00

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#12 09-02-2023 00:05:30

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#13 09-02-2023 00:30:46

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#14 09-02-2023 08:04:26

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#15 09-02-2023 14:43:20

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#16 09-02-2023 16:58:39

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#17 09-02-2023 21:08:59

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

#18 10-02-2023 01:41:34

Re : Pourquoi "polarisation" dans "formules de polarisation" ?

Pied de page des forums