Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bonjour,
Tu as bien trouvé 9*9*9 pour mon exemple, mais par contre ta formule 9*(n-k) donne 9*3 pour cet exemple ce qui est incorrect car différent de 9*9*9. Il faut revoir la formule qui generalise (mais tu n'es pas loin du tout)
Bonne journée

maths48

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Re : Exercice probas

Bonjour,

À la place de 9*(n-k), on aurait 9^n-k ?

Bonne journée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Oui tout à fait,
Du coup, en posant $p=1/10$ on a :
$\mathbb{P}(E_4) = {n \choose k}\frac{9^{n-k}}{10^n} = {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}$.
Cela est à méditer quand on a vu ce qu'est la loi binomiale.
Bonne soirée

maths48

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Re : Exercice probas

Merci de votre réponse. J'ai vu la loi binomiale aujourd'hui.

J'ai continué un peu : 

2. a. On se place dans l'espace de probabilité suivant : [tex](\Omega, A, P)[/tex] avec [tex]\Omega[/tex] = {(w₁, ..., w_k) | w_i [tex]\in[/tex]{0,..., 9, A, B, C} }, [tex]A = P(\Omega)[/tex] et P la probabilité uniforme sur [tex]\Omega.[/tex]
On a donc [tex]|\Omega| = 13^n[/tex]

    b. Pour E₅ : Pour n = 1 : 13 possibilités de 0 à C
n = 2 : 13*13
n = 3 : 13*13*1 car le dernier doit être égal au premier
n = 4 : 13*13*1*1 car les deux derniers doivent être égaux aux deux premiers, etc.
n = 5 : 13*13*13*1*1
.
.

Ainsi pour n pair supérieur ou égal à 3 fixé, on a [tex]13^{\frac{n}{2}}[/tex] possibilités
Et, pour n impair supérieur ou égal à 1 fixé, on a [tex]13^{E(\frac{n}{2})+1}[/tex]

Finalement, P(E₅) = [tex]\frac{13^{\frac{n}{2}}}{13^n}[/tex] pour n pair supérieur ou égal à 3 fixé
et P(E₅) = [tex]\frac{13^{E(\frac{n}{2})+1}}{13^n}[/tex] pour n supérieur impair ou égal à 1 fixé

Pour E₆, on a Cⁿ₃possibilités pour la position de ces 3 lettres car on choisit 3 cases parmi les n disponibles. De plus, on a [tex]9^{n-3}[/tex] possibilités pour les n-3 chiffres qui ne sont pas sur ces 3 cases. En plus, on veut que ces trois lettres soient identiques. On a 3 possibilités A, B ou C.

Finalement, P(E₆) = [tex]\frac{\binom{3}{n}*9^{n-3}*3}{13^n}[/tex]

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bravo !
Je suis d'accord avec tes réponses, c'est très bien d'avoir distingué pair et impair pour $E_5$ (NB : je pense que ça vaudrait le coût dans la présentation du résultat final de simplifier un peu l'expression si possible).
Pour $E_6$, c'est très bien aussi (je pense que tu voulais dire ${n \choose 3}$ au lieu de ${3 \choose n}$).
Bonne soirée

Zebulor

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Re : Exercice probas

Hello,

    b. Pour E₅ : Pour n = 1 : 13 possibilités de 0 à C
n = 2 : 13*13

ce 13*13 me semble douteux.. pour $n=2$ les deux caractères sont identiques, non ?  par exemple AC et CA ne sont pas des palindromes

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Effectivement Zebulor je n'avais pas fait attention. Mais la formule générale proposée par maths48 est correcte il me semble

Zebulor

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Re : Exercice probas

Bonsoir Glozi,
je le pense aussi pour la formule générale..
@Glozi : cette discussion mise à part je pense revenir sur le problème des passagers selon le point de vue du nombre de bijections :-)

Bonne soirée

maths48

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Re : Exercice probas

Merci à vous deux pour vos réponses !

(je pense que tu voulais dire ${n \choose 3}$ au lieu de ${3 \choose n}$).

Effectivement, faute de frappe.
C'est vrai, merci Zebulor pour n = 2, c'est 13*1...

J'ai essayé de finir la question 2 :
Pour E₇ :
Si on ne veut que des chiffres, on a entre 0 et 9.
Pour n = 1, on a 10 possibilités
.
.
Pour n supérieur ou égal à 1 fixé, on a [tex]10^n[/tex] possibilités.

Si on ne veut que des lettres, on a A, B ou C.
Pour n = 1, on a 3 possibilités.
.
.
Pour n supérieur ou égal à 1 fixé, on a [tex]3^n[/tex] possibilités.

Soit C : "Que des chiffres" et L : "Que des lettres"
Comme on veut soit l'un soit l'autre, on cherche [tex]P(C \cup L) = P(C) + P(L) - P(C \cap L)[/tex]

On a [tex]P(C) = \frac{10^n}{13^n}[/tex] et [tex]P(L) = \frac{3^n}{10^n}[/tex]

[tex]P(C \cap L) = 0[/tex] puisque ce sont deux évènements incompatibles.
Ainsi, [tex]P(C \cup L) = P(C) + P(L) - P(C \cap L)[/tex] = [tex]P(C) + P(L) =\frac{10^n}{13^n} + \frac{3^n}{10^n}[/tex]

Pour la c)
Soit 1C : "Commence par une lettre" et on a E₅ : "Le code est un palindrome"
P(1C) =  [tex]\frac{3*13^n}{13^n}[/tex]
[tex]P(1C | E_5) = \frac{P(1C \cap E_5)}{P(E_5)} = \frac{3*P(E_5)}{P(E_5)} = 3 [/tex]  (puisque "commencer par une lettre" et "être un palindrome" sont deux évènements indépendants).

On utilise Bayes :
P(E₅ | 1C) = [tex]\frac{P(1C| E_5)*P(E_5)}{P(1C)}[/tex] = [tex]\frac{3*P(E_5)}{3}[/tex] [tex]= P(E_5)[/tex]

On aura deux résultats différents selon si n est pair ou impair vu que P(E₅) dépend de cela.
On en déduit que savoir que le code commence par une lettre ne donne pas d'information supplémentaire pour la proba de E₅ et ainsi les évènement sont indépendants.

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Rebonsoir,
Pour $E_7$ je suis d'accord sur la démarche, mais pourquoi $\mathbb{P}(L)=3^n/10^n$ (pourquoi $10^n$ au dénomiateur ?).
Pour la question d'après, je ne suis pas d'accord avec ta démarche : tu utilises dans ton raisonnement que $1C$ (drôle de notation je trouve) et $E_5$ sont indépendants pour calculer des probas conditionnelles les concernant (au passage du trouves à un moment une proba qui vaut $3$ !!) Ensuite tu conclus qu'ils sont indépendants ... on tourne en rond !
D'ailleurs, pourquoi penser que les évènement sont indépendants a priori ?

Pour conclure, il va falloir calculer $\mathbb{P}(E_5 | 1C)$ (proba que le code soit un palindrome sachant qu'il commence par une lettre).
Autrement dit il faut calculer $\mathbb{P}(E_5 \cap 1C)$ et $\mathbb{P}(1C)$ (le résultat que tu as proposé pour cette proba n'est pas entre $0$ et $1$, attention !)

Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

PS : Zebulor, tu parles de l'énigme sur les passagers dans l'avion ?

maths48

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Re : Exercice probas

Merci de votre réponse.

pourquoi $\mathbb{P}(L)=3^n/10^n$ (pourquoi $10^n$ au dénomiateur ?).

Je me suis trompé, je voulais mettre 13ⁿ au dénominateur...

Je corrige pour E₇ :
On a [tex]P(C) = \frac{10^n}{13^n}[/tex] et [tex]P(L) = \frac{3^n}{13^n}[/tex]

[tex]P(C \cap L) = 0[/tex] puisque ce sont deux évènements incompatibles.
Ainsi, [tex]P(C \cup L) = P(C) + P(L) - P(C \cap L)[/tex] = [tex]P(C) + P(L) =\frac{10^n}{13^n} + \frac{3^n}{13^n} = \frac{13^n}{13^n} = 1[/tex]

Pour la c) :
On veut $\mathbb{P}(E_5 | 1C)$.
On a pour $(E_5 \cap 1C)$ : Si n est pair, [tex]3*13^{\frac{n}{2}-1}[/tex] car on a 3 possibilités pour que le palindrome commence avec une lettre puis 13 possibilités pour chacune des n-1 cases suivantes.
Si n est impair, [tex]3*13^{\frac{n-1}{2}}[/tex]
Ainsi, si n est pair, $\mathbb{P}(E_5 \cap 1C)$ = [tex]\frac{3*13^{\frac{n}{2}-1}}{13^n}[/tex] =[tex]3*13^{\frac{-n}{2}-1}}[/tex]
et si n est impair, $\mathbb{P}(E_5 \cap 1C)$ = [tex]\frac{3*13^{\frac{n-1}{2}}}{13^n} = \frac{3}{13^{\frac{n+1}{2}}}[/tex]
et $\mathbb{P}(1C)$ = [tex]\frac{3*13^{n-1}}{13^n} = \frac{3}{13}[/tex]

Finalement, $\mathbb{P}(E_5 | 1C)$ = [tex]\frac{\mathbb{P}(E_5 \cap 1C)}{\mathbb{P}(1C)}[/tex] = [tex]\frac{3*13^{\frac{-n}{2}-1}}}{\frac{3}{13}}[/tex] si n est pair
et = [tex]\frac{\frac{3}{13^{\frac{n+1}{2}}}}{\frac{3}{13}}[/tex] si n est impair

En revanche là, je ne vois pas quoi en déduire...?

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Dernière modification par maths48 (08-02-2023 23:32:39)

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bonsoir,
Pour la 2)b) attention à ne pas dire des sottises du genre $(a+b)^n=a^n+b^n$. Au passage, quand on trouve une proba qui vaut $1$ on peut se demander si c'est cohérent (est ce qu'on est certain que si on a un code au hasard alors il n'y a que des chiffres ou que des lettres ?).
Pour la 2)c) tu as bien calculé $\mathbb{P}(E_5 \cap 1C)$ et $\mathbb{P}(1C)$ tu en as bien déduit $\mathbb{P}(E_5 |1C)$. Je pense que tu peux simplifier les expressions obtenues. Essaye ensuite de comparer ton résultat avec $\mathbb{P}(E_5)$, tu pourras alors : ou bien déduire que les évènement sont indépendants, ou bien déduire qu'ils sont corrélés.
Bonne soirée

Zebulor

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Re : Exercice probas

Bonjour,

PS : Zebulor, tu parles de l'énigme sur les passagers dans l'avion ?

Oui !

maths48

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Re : Exercice probas

Bonsoir, merci de votre réponse.

2.b) Oui, effectivement, j'ai corrigé !
2.c) J'ai simplifié les expressions et comme les résultats entre la proba de E₅ sachant 1C et la proba de E₅ seul sont différents, j'en déduis que les évènements sont corrélés.

J'ai essayé de faire la question 3 :

Soient N : "Le code est de longueur n" et C : "Que des chiffres".
On a P(N) = [tex]\frac{1}{n}[/tex] car on a 1 chance sur n de tomber sur une des faces d'un dé équilibré à n faces.
P(C) = [tex]\frac{10^n}{13^n}[/tex] comme on l'a calculé plus tôt.
On veut [tex]P(C \cap N) =\frac{10^n}{13^n}*\frac{1}{n} = \frac{10^n}{13^n*n} [/tex] car on veut uniquement des chiffres pour une certaine longueur

On a alors : $\mathbb{P}(C | N)$ = [tex]\frac{\mathbb{P}(C \cap N)}{\mathbb{P}(N)} = \frac{\frac{10^n}{13^n*n}}{\frac{1}{n}} = \frac{10^n}{13^n}[/tex]

Mais je retrouve la proba de C...

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bonsoir,

Pour la 2)c) c'est étonnant, moi j'avais l'impression que $\mathbb{P}(E_5|1C)=\mathbb{P}(E_5)$ (calculs à vérifier ? mais je me trompe peut-être)
Pour la 3) J'imagine que le dé possède $n$ faces numérotées de $1$ à $n$. Posons $C$ l'évènement que le code ne comporte que des chiffres.
On veut toujours calculer $\mathbb{P}(C)$ la subtilité c'est qu'ici $\mathbb{P}$ correspond à une nouvelle expérience aléatoire, celle qui consiste d'abord à lancer le dé à $n$ faces, regarder $k$ le résultat (aléatoire) du dé, puis tirer uniformément un code de longueur $k$. Ainsi la formule que tu proposes pour $\mathbb{P}(C)$ n'est ici pas correcte (ce n'est pas le même résultat qu'avant car on a changé l'expérience aléatoire).

Je te conseille d'introduire les évènements $N_k : $ "le dé tombe sur la face $k$" (pour $k\in \{1,\dots,n\}$). Pourquoi ? Car ce que tu sais bien calculer, ce sont les $\mathbb{P}(C|N_k)$. Je te laisse réfléchir à cela. Essaye d'être rigoureux de bien réfléchir à qui est $k$, qui est $n$, de quelle(s) variable(s) va dépendre le résultat etc...

Bonne soirée

maths48

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Re : Exercice probas

Bonsoir, merci de votre réponse.

Je trouve ceci pour le 2. c) https://www.cjoint.com/c/MBjuuOI0XHF

Qu'en pensez-vous ?

Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Il y a certainement une erreur pour le cas $n$ pair de $\mathbb{P}(E_5|1C)$ puisque la proba obtenue n'est pas entre $0$ et $1$. Pour le cas $n$ impair, pour comparer les expressions il faudrait par exemple enlever la partie entière (l'exprimer autrement).

Jimmy5125166

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Re : Exercice probas

Bonjour, j'arrive un peu après la bataille mais faisant un exercice similaire je me permets de poser la question pour le calcul de p(E6) :

De plus, on a [tex]9^{n-3}[/tex] possibilités pour les n-3 chiffres qui ne sont pas sur ces 3 cases.
Finalement, P(E₆) = [tex]\frac{\binom{3}{n}*9^{n-3}*3}{13^n}[/tex]

Qu'en pensez-vous ?

Sauf erreur de ma part n'est ce pas [tex]10^{n-3}[/tex] possibilités pour les n-3 chiffres étant donné qu'il y à 10 chiffres et non 9?

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Effectivement tu as raison, merci de l'avoir signalé !
Bonne journée

Jimmy5125166

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Re : Exercice probas

J'ajouterai une chose, pour la question c) ou on jette un un dès à n faces pour décider la longueur du code, serait il judicieux de considérer les Nk comme un système complet d'évènements pour appliquer la formule des probas totales?

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Exactement, c'est l'idée !

Jimmy5125166

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Re : Exercice probas

très bien merci, bonne journée !