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Jimmy5125166

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Application Formule de Poincaré

Bonjour,
c'est un exercice qui a déjà été posé sur plusieurs forums, mais je n'en ai pas trouvé de véritable solution, voici l’énoncé :

On a n marins ivres qui regagnent leur bateau en pleine nuit. Quelle est la probabilité qu'aucun d'eux ne se couche dans son hamac? Et quelle est cette probabilité si n tend vers l'infini.

Vous trouverez mon travail ici : https://www.cjoint.com/c/MBcp36PNZYl
D'abord est il juste ? Ensuite je ne suis pas sur de savoir calculer les sommes triples,quadruples,quintuples,....etc? Et je n'ai pas rédigé pour n tend vers infini mais ça me semble être de probabilité 1 car on peut factoriser par 1/n .
Bref, merci.
Cordialement.

Michel Coste

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Re : Application Formule de Poincaré

Bonsoir,
Ton application de la formule du crible de Poincaré est correcte, mais pas complète. Essaie de poursuivre.
Tu devrais voir apparaître la limite de la probabilité quand [tex]n[/tex] tend vers l'infini. Ce n'est pas 1.

Jimmy5125166

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Re : Application Formule de Poincaré

En l'infini je trouve que la probabilité est 1-e^(-1) : https://www.cjoint.com/c/MBhqfO1ppYl
et ceux en utilisant la formule de Poincaré simplifiée; maintenant j'ai beau cherché je ne vois pas comment démontrer cette forme simplifiée. (Ici on peut l'utiliser car la probabilité des intersections ne dépend que du nombre d'intersection effectuées).

Dernière modification par Jimmy5125166 (07-02-2023 17:07:40)

Michel Coste

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Re : Application Formule de Poincaré

Je ne comprends pas ton histoire de "formule de Poincaré simplifiée". Il y a une seule formule du crible de Poincaré !
Par ailleurs tu t'es emmêlé les pinceaux entre l'événement considéré (aucun des marins ne couche dans son hamac) et son complémentaire : la probabilité de cet événement pour [tex]n[/tex] marins est [tex]\sum_{k=0}^n  \dfrac{(-1)^k}{k!}[/tex] et on sait que [tex]\sum_{k=0}^\infty  \dfrac{(-1)^k}{k!}=\exp(-1)[/tex].