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maths48

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Exercice probas

Bonsoir,

J'ai fait un exercice de probas, dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/MBerpQ4nnSF

Voici ce que j'ai fait :

1. a. On se place dans l'espace de probabilité suivant : [tex](\Omega, A, P)[/tex] avec [tex]\Omega[/tex] = {{w₁, ..., w_k} | w_i [tex]\in[/tex]{0,..., 9} [tex]\cup[/tex] {A,B,C} }, [tex]A = P(\Omega)[/tex] et P la probabilité uniforme sur [tex]\Omega.[/tex] On a alors [tex]|\Omega|[/tex] = 10.
    b. P(E₁) = [tex]\frac{10 !}{10}[/tex] = 9 !
P(E₂) = 1 - P(E₂^c)
P(E₃) = 1 - P(E₃^c)

2. a. On se place dans l'espace de probabilité suivant : [tex](\Omega, A, P)[/tex] avec [tex]\Omega[/tex] = {(w₁, ..., w_k) | w_i [tex]\in[/tex]{0,..., 9} [tex]\cup[/tex] {A,B,C} }, [tex]A = P(\Omega)[/tex] et P la probabilité uniforme sur [tex]\Omega.[/tex]
    b. P(E₅) = n^{k - E([tex]\frac{k}{2})[/tex]}
P(E₆) = n^k-3
P(E₇) = P(L) [tex]\cup[/tex] P(C) = P(L [tex]\cup[/tex] C) = P(L) + P(C) - P(L [tex]\cap [/tex] C) = [tex]\frac{3}{n^k}[/tex] + [tex]\frac{10}{n^k}[/tex] - [tex]\frac{30}{n^2k}[/tex]

avec P(L) : proba qu'il n'y ait que des lettres et P(C) : proba qu'il n'y ait que des chiffres.

    c. P(E₅|P(1L)) = [tex]\frac{P(L)\capP(E₅)}{P(L)}[/tex] = [tex]\frac{P(L)*P(E₅)}{P(L)}[/tex] = [tex]\frac{n^k-1 * n^k-3}{n^k-1}[/tex] = n^k-3
On en déduit que ces deux évènements sont indépendants.

3. Je voulais calculer la probabilité de "qu'il n'y ait que des chiffres" sachant "la longueur n du code". Ces deux évènements sont bien indépendants ?

Pourriez-vous m'éclairer ? Le reste est-il correct ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bonjour,
Petite astuce en proba (du même genre que vérifier l'homogénéité d'une formule en physique) : on vérifie toujours qu'une proba est un réel entre $0$ et $1$. Par exemple ce n'est pas possible à la question 1)a) d'obtenir une proba qui vaut $9!$.

Quand tu décris l'espace de proba, qui est $k$, où est $n$ ? Dans la question $1$ on précise que les codes sont seulement écrits avec des chiffres entre $0$ et $9$ il faut donc prendre un espace de proba qui prend cela en compte. Je te conseille de recalculer le cardinal de $\Omega$ (ça doit dépendre de $n$).

Je te propose de bien faire la question $1$ avant de passer à la suite.
Un indice pour $E_1$ : on a des codes avec des chiffres entre $0$ et $9$, si j'ai un code à un seul chiffre ($n=1$) quelle est la proba de cet évènement. Si j'ai $n=10$ chiffres dans mon code, quelle est la proba de cet évènement ? Si j'ai $n>10$ chiffres, quelle est la proba de cet évènement ? (principe des tiroirs...)

J'essaierai de t'aider pour les autres question après, si tu en as encore besoin

Bonne soirée

maths48

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Re : Exercice probas

Bonsoir, merci de votre réponse.

Il va falloir que je revois les notations pour tout mon exercice je crois... J'ai l'habitude de prendre n comme étant le nombre de possibilités et k comme le nombre de "cases" (on nous a donné comme image un mot à k lettres avec n possibilités par lettres et on adaptait selon les exercices, je ne sais pas si cela fait sens...).

1. a. On se place dans l'espace de probabilité suivant : (Ω,A,P) avec Ω = {{w₁, ..., w_n} | wi ∈ {0,..., 9} }, A=P(Ω) et P la probabilité uniforme sur Ω. Question : Ne vaut-il pas mieux prendre (w₁, ..., w_n) au lieu de {w₁, ..., w_n} ?
On a alors |Ω|= n! Est-ce bien cela ?

Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bonsoir,
Pour répondre à ton interrogation, il faut se demander si l'ordre des chiffres et les répétition d'un même chiffre sont des choses importantes ou non dans un code. Par exemple $\{1,4,9,2\} = \{9,4,2,1\}$ en revanche $(1,4,9,2) \neq (9,4,2,1)$. Pire si tu utilises des accolades alors $\{1,1,1,2\} = \{1,2\}$.
Bref je pense que pour le sujet en question l'ordre des chiffres dans un code est important et donc il faut effectivement mieux prendre $(w_1,\dots,w_n)$.
Ensuite $|\Omega|$ ne vaut pas $n!$. Déjà si $n=1$ on a quand même $10$ possibilités pour un code à $1$ chiffre et non pas $1!$ possibilité ! Je me demande comment tu as abouti à ce résultat ?

Indice pour la suite : quand on dit qu'on prend un code uniforme parmi tous ceux à $n$ chiffres, c'est en fait la même chose que se donner une suite de $n$ chiffres $w_1,\dots,w_n$, chacun étant choisi uniformément entre $0$ et $9$ et tous sont mutuellement indépendants. Est-ce clair pourquoi cela est vrai ?
(c'est dans ce genre de cas qu'on peut raisonner en disant : "combien de choix pour le premier chiffre, puis combien pour le deuxième etc...")

Bonne soirée

maths48

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Re : Exercice probas

Bonsoir,

Je me demande comment tu as abouti à ce résultat ?

Une belle erreur d'inattention. J'ai écris un exemple avec un chiffre explicite : j'ai vu 1 possibilité avec ce chiffre-ci en oubliant de prendre en compte les autres...

Donc, si on prend en compte l'ordre, on est face à ce qui s'apparente à un tirage avec remise avec ordre. Le cardinal d'Ω est donc kⁿ puisqu'on a k possibilités pour n "cases".

C'est mieux ?

Est-ce clair pourquoi cela est vrai ?

Je ne pense pas bien savoir le justifier...

Merci,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bonsoir,
Oui j'imagine que pour toi $k$ est le nombre de chiffres. Donc $k=10$ dans la question $1$, et tu as la bonne réponse : $|\Omega|=10^n$. C'est également très bien d'avoir reconnu une situation de tirage avec remise (pour les chiffres du code).

En particulier quelque soit le code $c=(w_1,\dots,w_n)$ ($w_i\in \{0,\dots,9\}$), puisque la probabilité $\mathbb{P}$ est supposée uniforme alors
$$\mathbb{P}(c) = \frac{1}{|\Omega|}.$$
Par exemple si $n=4$ alors $\mathbb{P}((1,7,8,9)) = 1/10000.$

Pourquoi est-ce que cela est équivalent à tirer les $n$ chiffres indépendamment et uniformément ?
Il suffit de regarder : on se donne $W_1,\dots,W_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi uniforme sur $\{0,\dots,9\}$. Pour le moment on les suppose définies sur un espace de probabilité $(\tilde{\Omega}, \tilde{\mathcal{A}},\tilde{\mathbb{P}})$. Ainsi par exemple $\tilde{\mathbb{P}}(W_1=5) = \tilde{\mathbb{P}}(W_1=8)=1/10$.

Ces variables aléatoires vont représenter les chiffres de notre code.

On regarde la variable aléatoire $C:=(W_1,\dots,W_n)$. Je prétends que $C$ est une variable aléatoire qui est uniforme dans tous les codes de longueur $n$.

Pour le justifier on se donne $c=(w_1,\dots,w_n)$ un code, il faut montrer que $\tilde{\mathbb{P}}(C=c)=1/10^n$.
Or $$\tilde{\mathbb{P}}(C=c) = \tilde{\mathbb{P}}(W_1=w_1 \text{ et }W_2 = w_2 \text{ et }\dots \text{ et }W_n = w_n).$$
En utilisant l'indépendance on voit que cela vaut donc :
$$\tilde{\mathbb{P}}(C=c) = \tilde{\mathbb{P}}(W_1=w_1)\times \tilde{\mathbb{P}}(W_2=w_2)\times\dots\times\tilde{\mathbb{P}}(W_n=w_n).$$
En utilisant le fait que les $W_i$ sont uniformes on obtient :
$$\tilde{\mathbb{P}}(C=c) = 1/10 \times 1/10 \times \dots \times 1/10 = (1/10)^n = 1/10^n.$$

Tu peux te demander qu'est ce que c'est que cet espace de proba $(\tilde{\Omega}, \tilde{\mathcal{A}}, \tilde{\mathbb{P}})$ (est ce qu'un tel truc existe ?)
Une réponse est que tu peux en fait prendre $(\tilde{\Omega}, \tilde{\mathcal{A}}, \tilde{\mathbb{P}})= (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ que tu as défini.
Et définir $W_i$ comme la variable aléatoire :
$$\begin{array}{cccc}
W_i & : & \Omega & \to & \{0,\dots,9\} \\
& & (w_1,\dots,w_n) & \mapsto & w_i.\end{array}$$

C'est un exercice que de vérifier que les $W_i$ ainsi définies sont bien uniformes et indépendantes.

Bref cela n'est pas le plus important, ce qu'il faut bien comprendre c'est que si tu tires un code a $n$ chiffres uniformément, alors le premier chiffre par exemple est lui même choisi uniformément. De plus, tous les chiffres sont mutuellement indépendants. Réciproquement si on se donne $n$ chiffres choisis uniformément et indépendamment alors le code obtenu est lui même uniforme parmi tous les codes possibles à $n$ chiffres.

Je pense que tout est en ordre pour commencer la 1)b) !

Bonne soirée

maths48

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Re : Exercice probas

Bonjour, merci de votre réponse.

1.b. P(E₁) = [tex]\frac{\\nombre\\de\\cas\\favorables\\}{\\nombre\\de\\cas\\total\\}[/tex] = [tex]\frac{|E₁|}{|[tex]\Omega[/tex]|}[/tex] = [tex]\frac{n!/((n-10)!)}{10ⁿ}[/tex]

Puisque si j'ai compris ici E₁ s'apparente à un tirage sans remise avec ordre. C'est bien cela ?

Merci d'avance,
Bonne journée

(PS : Pourquoi mon latex fonctionne une fois sur deux...?)

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bonjour,
Pour eviter que le latex bug il faut je pense eviter d'imbriquer plusieurs balises tex et aussi il ne faut pas utiliser de balises sub et sup dans le latex, à la place on peut utiliser _ et ^, par exemple E_1 donne $E_1$ et 10^n donne $10^n$.

Sinon je me demande que vaut ta formule lorsque $n=1$ quid du cas $n=2$ par exemple ?
Encore une fois je me demande comment tu as abouti à cette formule, car sur une copie il ne s'agit pas d'écrire une réponse finale mais d'expliquer le raisonnement qui a permis d'aboutir à cette formule.

Tu as bien dit $$\mathbb{P}(E_1)=\frac{\text{nb cas favorables}}{\text{nb cas au total}}$$ (il faudra dire que c'est vrai car $\mathbb{P}$ est la proba uniforme).

Mais je ne vois pas comment tu aboutis au surprenant $n!/(n-10)!$ pour le nombre de cas favorables ?

Au passage, que signifie pour toi tirage sans remise avec ordre et en quoi cela a un rapport avec $E_1$ (qui est un évènement rappelons le) ?

PS: les probabilités ne sont pas de la magie noire ! Même si elles peuvent sembler déconcertantes au debut, elles requièrent tout autant de rigueur et de precision qu'une autre branche des mathematiques :-)

Bonne journée

maths48

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Re : Exercice probas

Bonjour,

Mais je ne vois pas comment tu aboutis au surprenant $n!/(n-10)!$ pour le nombre de cas favorables ?

J'ai voulu utiliser la formule pour les arrangements...

Si j'ai bien compris, pour avoir [tex]|E_1|[/tex] il faut compter le nombre de codes différents avec chacun 10 chiffres différents.
Maintenant, puis-je me dire "combien de choix pour le premier chiffre, puis combien pour le deuxième etc..." ? Si oui, cela nous donnerait 10! je crois : 10 possibilités pour le premiers puis 9 pour le suivant, etc.
Problème : Si on l'utilise dans le calcul de P(E₁₎, on n'a pas du tout un résultat entre 0 et 1. Donc je rate forcément quelque chose, mais je n'arrive pas à voir quoi ?

Merci,
Bonne journée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Non tu te trompes, il ne faut pas compter le nombre de "codes avec chacun 10 chiffres differents", mais le nombre de codes à n chiffres avec que des chiffres differents.
(ce n'est pas parce qu'un code n'a que des chiffres differents qu'il contient tous les differents chiffres !)
N'oublie pas que n est la longueur de ton code !!

Mais tu as grosso modo le resultat pour n=10, il y a bien 10! codes à 10 chiffres avec que des chiffres tous differents. Et donc si n=10 la proba de $E_1$ vaut 10!/10^10. C'est bien compris entre 0 et 1 !

maths48

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Re : Exercice probas

Oh oui évidemment !

Alors, si j'ai compris : Tout d'abord, on est d'accord que notre n ne peut pas dépasser 10 ici ?
Pour avoir le cardinal de E₁, il faut compter tous les codes à n chiffres avec que des chiffres différents. Ainsi, on n'a qu'à additionner le nombre de possibilités pour chaque n c'est-à-dire :

n = 1 : 10 possibilités
n = 2 : 10*9 possibilités
n = 3 : 10*9*8 possibilités
.
.
.
n = 10 : 10! possibilités

Et si on additionne tout ceci et qu'on divise par le cardinal d'Ω = 10¹⁰ (toujours ? Ou on doit modifier le n du coup...?), on obtient un résultat compris entre 0 et 1.

Qu'en pensez-vous ?

Bonne journée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bonjour, la partie de ton message concernant le nombre de possibilités en fonction de $n$ est bien. Le reste me plaît beaucoup moins : pourquoi parles tu d'additionner tout ceci ?
Ce qu'il faut que tu comprennes c'est que ton expérience aléatoire n'est pas la même quand $n$ varie. Ton énoncé aurait du être : "1)a) trouver un espace de probabilité $(\Omega_n, \mathcal{A}_n,  \mathbb{P}_n)$ qui modélise l'expérience pour $n\geq 1$ fixé". Il est donc possible (et normal) de trouver des probabilités qui dépendent de $n$.

Par exemple si $n=1$. L'expérience aléatoire consiste à tirer un code à un chiffre uniforme entre $0$ et $9$. La probabilité que ce code à un chiffre ne contiennent pas deux fois le même chiffre vaut $1$ (car le code ne contient qu'un seul chiffre...).
En revanche lorsque $n=10$ on a vu que la probabilité qu'un code uniforme à $n=10$ chiffres ne contiennent pas deux fois le même chiffre est $10!/10^10$.

Ces probabilités sont différentes et ce n'est pas surprenant car comme je le répète : l'expérience aléatoire dépend de $n$.
(NB : l'évènement $E_1$ dépend lui aussi de $n$. Selon le $n$ que tu t'es fixé, il faut voir $E_1$ comme un élément de $\mathcal{A}_n$).

L'expérience aléatoire fait toujours sens même lorsque $n>10$ on peut par exemple choisir un code uniforme parmi tous les codes à $20$ chiffres. Il faut donc également calculer la probabilité de $E_1$ lorsque $n>10$.

Bonne journée

maths48

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Re : Exercice probas

Ah oui !
Je crois que j'ai compris pour les probabilités pour les n entre 1 et 10 :
On aura alors si n = 1, P(E₁) = 10/10¹ = 1
Pour n = 2, P(E₁) = [tex]\frac{10*9}{10^2}[/tex] = 9/10
.
.
.
n = 10 : P(E₁) = [tex]\frac{10!}{10^{10}}[/tex] = résultat compris entre 0 et 1

En revanche, j'ai toujours un doute pour n > 10 :

Comme il y a 10 chiffres distincts possibles, si le code est de longueur n > 10, il est impossible que l'évènement "tous les chiffres sont différents" se réalise. Ainsi, pour n > 10, on a P(E₁) = 0.

Est-ce bien cela ?

Merci,
Bonne journée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Oui c'est bien ça !

maths48

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Re : Exercice probas

Super ! Alors, voyons pour P(E₂).

S'il n'y a aucun chiffre pair, il nous reste : 1, 3, 5, 7, 9.
Je ne crois pas qu'on soit obligés de passer par la formule 1 - P(E₂^c) (mais est-ce mieux ?)

Ici, il faut compter tous les codes à n chiffres avec que des chiffres impairs.

Pour n = 1 : 5 possibilités
Pour n = 2 : 5*5 possibilités
.
.
.
n = 10 : 5¹⁰ possibilités

Ici, on n'a pas de "limite" vu qu'on peut réutiliser tous les chiffres autant de fois que l'on veut.
D'où :
Pour n fixé avec n supérieur ou égal à 1. On a 5ⁿ possibilités.

Ainsi, pour tout n supérieur ou égal à 1, on a : [tex]P(E_2) = \frac{\\nombre\\de\\cas\\favorables\\}{\\nombre\\de\\cas\\total\\} =\frac{\\5^n\\}{\\10^n\\} [/tex] et on a un résultat entre 0 et 1.

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bonsoir,
Oui ça me semble exact !
(il est à mon avis bien plus délicat d'utiliser une méthode reposant sur $\mathbb{P}(E_2) = 1 - \mathbb{P}(E_2^c)$.)
Bonne soirée

maths48

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Re : Exercice probas

Je refais alors :

[tex]P(E_2) = [/tex] 1 - P(E₂^c)

Ici, il faut compter tous les codes à n chiffres avec au moins un chiffre impair pour calculer P(E₂^c).

Pour n = 1 : 5 possibilités (que les impairs)
Pour n = 2 : 5*10 possibilités (pour les autres, pas besoin de choisir un pair ou un impair forcément)
.
.
.
n = 10 : 5*10*...*10 possibilités

Comme avant : on n'a pas de "limite" vu qu'on peut réutiliser tous les chiffres autant de fois que l'on veut.
D'où :
Pour n fixé avec n supérieur ou égal à 1. On a 5*10^n-1 possibilités.

Ainsi, pour tout n supérieur ou égal à 1, on a : [tex]P(E_2) = 1 - \frac{\\nombre\\de\\cas\\favorables\\}{\\nombre\\de\\cas\\total\\} = 1 -\frac{5*10^(n-1)}{\\10^n\\} [/tex] et on a un résultat entre 0 et 1 mais ce n'est pas le même qu'avec la méthode précédente...
Le précédent se simplifiait en [tex]\frac{1}{2^n}[/tex] et ici il se simplifie en [tex]\frac{1}{2}[/tex]...

Je ne vois pas où est mon erreur...

Pourriez-vous m'éclairer ?
Merci d'avance,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Attention, ce que tu calcules ici, c'est juste la probabilité que le premier chiffre du code soit impair (et les autres quelconques), c'est pour cela que tu ne trouves pas le même résultat car $E_2^c$ est l'évènement que le code ait au moins un chiffre pair (il y a confusion entre pair et impair dans ton message, cf l'énoncé).

Prenons $n=2$ tu dis qu'il y a $5\times 10$ possibilités pour réaliser $E_2^c$. Les codes de la forme $0x$, $2x$, $4x$, $6x$ et $8x$ avec $x$ un chiffre quelconque entre $0$ et $9$. Mais en faisant ça tu oublies certains codes, car par exemple $12$ ne rentre dans aucune des catégories pourtant il contient bien un chiffre pair.

Bref comme je l'ai dit précédemment, essayer de calculer $|E_2^c|$ directement est bien plus compliqué que de calculer $|E_2|$ comme tu l'as très bien fait au départ, mais c'est bien de se poser la question de cette piste alternative de passer au complémentaire !

PS : quand tu utilises le symbole ^ en latex pour l'exposant, si l'exposant consiste en plus d'un seul caractère il faut mettre des accolades autour, Ex : 10^(n-1) donne $10^(n-1)$ mais 10^{n-1} donne $10^{n-1}$ (même chose pour le symbole _).
Bonne soirée

maths48

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Re : Exercice probas

Bonjour, merci de votre réponse. (Au début, j'avais compris "délicat" ou sens d'élégant...)

J'ai fait P(E₃) :

On a P(E₃) = 1 - P(E₃^c)

Il faut compter le nombre de codes de longueur n avec aucun 4. Il nous reste : 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9.

n = 1 : 9 possibilités
n = 2 : 9*9 possibilités, etc.

On a pour n supérieur ou égal à 1 fixé, 9ⁿ possibilités.

Ainsi, [tex]P(E_3) = 1 - \frac{\\nombre\\de\\cas\\favorables\\}{\\nombre\\de\\cas\\total\\} = 1 -\frac{9^n}{\\10^n\\} [/tex] et on a un résultat entre 0 et 1.

Qu'en pensez-vous ?

Bonne journée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bonjour,
Oui, c'est la bonne réponse
Bonne journée

maths48

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Re : Exercice probas

Bonjour,

Pour P(E₄), la proba va dépendre de k et n du coup? Je ne suis pas sûr de l'évènement contraire de E₄...?

n = 1, k = 0 : 9 possibilités
n = 1, k = 1 : 1 possibilité
n = 1, k > 1 : impossible

n supérieur ou égal à 1 fixé, k = 0 : 9*...*9 possibilités
k = 1 : j'ai voulu passer par l'évènement contraire "plus que k "1" dans le code mais je bloque un peu...?
k > n : impossible

Ainsi, pour n supérieur ou égal à 1 fixé, on a :
pour k= 0 : [tex]P(E_4) = \frac{\\nombre\\de\\cas\\favorables\\}{\\nombre\\de\\cas\\total\\} = \frac{9^n}{\\10^n\\} [/tex]
pour k > n :  [tex]P(E_4) = 0 [/tex]
et pour k prenant des valeurs autres que 0 ou strictement supérieures à n, j'ai du mal...

Qu'en pensez-vous ?
Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne journée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bonjour,
Effectivement l'évènement $E_4$ est un peu moins direct que les autres.
Déjà tu as raison de dire que la proba de $E_4$ dépend de $n$ et de $k$.
Ensuite, tu as bien compris que si $k>n$ alors l'évènement $E_4$ est vide : il n'existe aucun code de longueur $n$ avec exactement $k>n$ chiffres valant $1$.
Ainsi comme tu l'as dit, les seuls cas vraiment intéressants sont $0\leq k \leq n$.

En fait ici il n'est pas très intéressant de passer à l'évènement complémentaire.
Je te donne l'indice suivant : tu as précédemment parlé de tirage avec remise, il faut maintenant essayer de voir une loi Binomiale quelque part (pense à ce que j'ai essayé de t'expliquer sur les chiffres du code uniforme qui sont indépendants et de même loi).

Si tu n'as pas encore vu la loi Binomiale on peux tenter une autre approche avec du dénombrement (les deux approches sont vraiment équivalentes).
Combien de codes avec exactement $k$ chiffres $1$ (sachant que $0\leq k \leq n$) ?
Pour cela on se demande :
1. Combien de possibilités pour la positions de ces $k$ chiffres $1$ dans le code ?
2. Combien de possibilités pour les $n-k$ chiffres qui ne sont pas sur ces $k$ positions ?
3. Conclusion ?

Bonne journée

maths48

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Re : Exercice probas

Merci de votre réponse.

Combien de codes avec exactement k chiffres 1 ?
Pour cela on se demande :
1. Combien de possibilités pour la position de ces k chiffres 1 dans le code ?
2. Combien de possibilités pour les n-k chiffres qui ne sont pas sur ces k positions ?
3. Conclusion ?

Avec que peu de conviction :

1. On a k parmi n possibilités pour la position de ces k chiffres dans le code puisqu'on place k chiffres sur n cases.
2. (n-k)*(n-k-1)*...*1 = (n-k)! (il y a n-k cases où mettre un non-k chiffre, puis seulement n-k-1, etc.)
3. P(E₄) = [tex]\frac{(C^k_n)*(n-k)!}{10^n}[/tex] ?

Qu'en pensez-vous ?

Merci,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Exercice probas

Bonsoir,
Ok pour 1.
Pour 2, je ne suis pas d'accord. Je demande un mot avec à $n$ chiffres et j'ai préalablement choisi $k$ emplacements (voilà ils sont là). Je veux que mon code ait des $1$ dans chacun de ces $k$ emplacements, et aucun $1$ dans aucun des autres emplacements (pour qu'il y ait bien $k$ fois le chiffre $1$ au total). Combien de possibilités j'ai pour choisir ce code ?
Exemple, $n=5$ et $k=2$ et je te donne par exemple ce pattern de code "$??1?1$" (NB : il y a bien ${5 \choose 2}$ choix de tels patterns). Là où il y a les $1$ ça veut dire que c'est un emplacement où je veux mettre un $1$. Les $?$ sont les autres emplacements où je ne sais pas encore ce que je vais mettre dedans (mais certainement pas un $1$ !).
Bonne soirée

maths48

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Re : Exercice probas

Bonjour, merci de votre réponse.

Dans votre exemple, on aurait donc 9*9*9 possibilités (car on peut prendre 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sur les cases vides).

Pour n supérieur ou égal à 1 fixé, on a alors n-k cases disponibles et sur chacune d'elle on a 9 possibilités pour la même raison. Ainsi on aurait 9*(n-k) possibilités ?

Et finalement, cela donnerait P(E₄) = [tex]\frac{(C^k_n)*(n-k)*9}{10^n}[/tex] ?

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance,
Bonne journée