Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bivalve

Membre

Inscription : 12-01-2023

Messages : 66

Structures algébriques : groupes

Bonjour à tous, voici l'énoncé de l'exercice :
<< Soit G un groupe tel que G est différent de {e} et tous ses éléments ont un ordre qui divise 2. Montrez que si G est fini, alors son ordre est une puissance de 2 >>

Je me suis débrouillé afin d'apporté une réponse, mais cela n'a rien à voir avec la correction que j'ai pu voir. Alors je me rends sur ce forum pour vérifier si ma correction est correcte ou non :)

Voici ce que j'ai réalisé :
" Comme G admet des élément d'ordre 2, alors |G| = 2*q avec q entier naturel non-nul. Posons q = ( 2^n ) * t avec n entier naturel et t entier naturel impair. donc |G| = 2^(n+1)*t.
Raisonnons par l'absurde.  On suppose que G n'a pas un ordre qui est une puissance de 2, cela revient à dire que t est impair et plus grand que 1. Forcément, t est un produit de nombre premier impair. Posons t = (p^r) * l avec n entier naturel > 1, p nombre premier impair > 1,
et l nombre impair tel que p ne le divise pas . Donc |G| = 2^(n+1) * (p^r) * l.
Comme p ne divise ni 2, ni l, G admet un ou plusieurs p-Sylow. Soit H un p-Sylow, nous savons que pour x dans H, ordre(x) | |H|. On sait aussi que ordre(x) = 2 car x est un élément de G. Donc 2 | p^r => Contradiction. Donc G a forcement un ordre qui est une puissance de 2. "

je vous remercie d'avance de vos retours !

Dernière modification par Bivalve (14-02-2023 11:56:36)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Structures algébriques : groupes

Bonjour,

  Oui, il me semble que cela fonctionne à un détail près. Il faut que tu choisisses $x\neq e$ dans $H$ pour que son ordre soit bien 2 et non 1.
Quelle était la correction que tu as pu voir?

F.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 473

Re : Structures algébriques : groupes

Bonsoir,
"On sait aussi que ordre(x) = 2 car x est un élément de G"
L'hypothèse n'est pas que tous les éléments différents de l'identité sont d'ordre 2, mais qu'ils sont d'ordre pair. Mais tu peux sans doute modifier légèrement ta démonstration pour réparer cette petite erreur.
Le résultat revient essentiellement à montrer que si l'ordre de [tex]G[/tex] est divisible par un premier [tex]p[/tex] impair, alors [tex]G[/tex] contient un élément d'ordre [tex]p[/tex] (théorème de Cauchy).
Ta démonstration utilise le premier théorème de Sylow ; c'est un outil assez lourd. Il y a une démonstration différente : voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o … _(groupes)

Dernière modification par Michel Coste (04-02-2023 19:35:52)

Bivalve

Membre

Inscription : 12-01-2023

Messages : 66

Re : Structures algébriques : groupes

Merci pour vos réponses !
Je ne suis pas sûr d'avoir très bien compris la correction, rattrapez moi si je commets des erreurs :)
La correction que j'ai pu voir raisonne par récurrence.
On prouve d'abord que G est commutatif, ensuite on démontre le résultat par récurrence sur n = |G|
avec pour hypothèse de Récurrence: Tout H, avec |H| < n, vérifiant la propriété (p) : "Pour tout x dans H, x^2 = e" a un ordre qui est une puissance de 2.
Initialisation : Pour |G| = 2, On sait que pour |H| = 1 = 2^0 , avec e^2 = e, Donc Vrai.

Hérédité : On suppose que l'Hyp de R est vrai.
Soit G un groupe vérifiant (p) tel que |G| = n ( on suppose que G est différent de {e} ). Il existe un "a" de G ordre 2. Notons H le sous-groupe engendré par "a" ( H est donc d'ordre 2 ) . On sait que H est distingué dans G car G est commutatif, donc G/H est bien un groupe.
On sait que pour tout x dans G, x^2 = G. Ce qui implique que pour tout x-barre dan G/H, (x-barre)^2 = (x^2)-barre = e-barre.
Donc G vérifie la propriété (p) et a un ordre plus petit que n ( |G/H| ) = n/2.
Donc d'après l'Hyp de R. |G/H| = 2^i ( avec i naturel ) donc |G| = 2^(i+1).
G est donc d'ordre puissance de 2.
Je ne suis pas sûr si c'est juste, je vous renvoie tout de même vers la correction qui se trouve dans cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=v9LtTdF42CY

Michel Coste : Merci pour votre réponse, c'est vrai que j'aurais du penser plus tôt au théorème de Cauchy. Cependant, vous dites que les éléments sont d'ordre pair mais l'énoncé dit : "tous éléments ont un ordre que divise 2". Donc les diviseurs de 2 sont bien 1 et 2 non ? Corrigez moi si je me trompe !

Dernière modification par Bivalve (05-02-2023 14:25:34)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Structures algébriques : groupes

Re

  Je crois que je me suis fait avoir comme toi par la subtilité entre "ordre qui divise 2" et "ordre que divise 2".

F

Bivalve

Membre

Inscription : 12-01-2023

Messages : 66

Re : Structures algébriques : groupes

Ah zut, excusez moi, c'est bien "qui divise 2" et pas "que divise 2".

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 473

Re : Structures algébriques : groupes

Si tout élément [tex]x[/tex] de [tex]G[/tex] vérifie [tex]x^2=e[/tex] alors on voit aisément que [tex]G[/tex] est commutatif (pour tous [tex]x,y\in G[/tex], [tex]xyxy=e=xxyy[/tex], donc [tex]xy=yx[/tex]). Alors [tex]G[/tex] est un [tex]\mathbb Z/2\mathbb Z[/tex]-espace vectoriel, donc si [tex]G[/tex] est fini alors son ordre est une puissance de [tex]2[/tex].
Mais comme je l'ai indiqué, l'énoncé avec l'hypothèse que tiout élément de [tex]G[/tex] différent du neutre a un ordre pair (et donc un ordre qui est une puissance de 2) fait sens, et on a aussi en conclusion que si [tex]G[/tex] est fini alors son ordre est une puissance de 2. Dans ce cas [tex]G[/tex] n'est pas nécessairement commutatif, comme le montre l'exemple du groupe diédral [tex]D_4[/tex] (groupe des isométries du carré).

Bivalve

Membre

Inscription : 12-01-2023

Messages : 66

Re : Structures algébriques : groupes

Merci, je pense que j'ai bien compris !