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Koala_97441

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Dérivée d'une fonction

Bonjour,

J'ai l'équation suivante :

$xexp\frac {1}{1+x} = 4$

Cette équation est une solution d'équation différentielle, je dois opérer l'algorithme de Newton sur cette fonction.
Je sais qu'on opère l'algorithme de Newton pour une fonction f(x) = 0
Alors je vais appliquer l'algorithme sur la fonction :

$xexp\frac {1}{1+x} - 4= 0$

Pour pouvoir appliquer l'algorithme de Newton, j'ai besoin de la dérivée...
J'estime que je peux ignorer la constante -4
Ma dérivée est sous la forme $(u*v)'$.
Avec $u = x$
et $v = exp\frac {1}{1+x}$

J'ai donc $(u*v)' = u'v + uv'$
                            $1 * exp\frac {1}{1+x} + x * v'$

$v'$ est complexe, alors je vais le développer :
Dans la dérivée de $exp\frac {1}{1+x}$

Je vais devoir dériver $\frac{1}{1+x}$     ,car la dérivée de $exp(u) = u'exp(u)$
Je trouve alors
$u'exp(u)= \frac {-1}{(1+x)^²} exp\frac {1}{1+x}$   ===> je trouve ici le $v'$ de ma dérivée initiale

Ma dérivée initiale devient :
$1 * exp\frac {1}{1+x} + x * \frac {-1}{(1+x)^²} exp\frac {1}{1+x}$

$exp\frac {1}{1+x} - \frac {x}{(1+x)^²}exp\frac {1}{1+x}$ est la dérivée que je recherche.

Que je peux réduire ainsi
$(1 -  \frac {x}{(1+x)^²})exp\frac {1}{1+x}$

Est-ce que vous êtes d'accord avec moi  ? J'ai la bonne démarche ?
Merci

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Dérivée d'une fonction

Bonjour,
C'est pas mal délayé mais ça va.
Une petite remarque : "Cette équation est une solution d'équation différentielle" est incorrect. Une solution d'équation différentielle est une fonction, pas une équation !

Koala_97441

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Re : Dérivée d'une fonction

Bonjour,

Je reviens vers vous sur ce sujet car je coince dans ma progression...
Le contexte est le suivant :

Soit l’équation différentielle suivante :

(1a) $yy'xexp\frac {y}{1+y'} = 4$
(1b) $y(0) = 1$

Question n°1:

Cette équation ne prend pas la forme $y′ = f (y)$. Elle définit de façon implicite $y'$ car on ne saura pas transformer l’équation (1a) en une relation $y′ = f (y)$. Il nous faudra donc, à chaque itération et connaissant la valeur de $y$ à cet instant précis, calculer $y′$ par une méthode numérique comme l’algorithme de Newton.

J'ai répondu à la première question suivante, qui faisait l'objet de ma demande initiale sur le sujet :

Sachant que $y(0)$ vaut 1, $y′(0)$ doit vérifier l’équation:
$xexp\frac {1}{1+x} = 4$ en vertu de la relation (1a). Calculer $y'(0)$ grâce à l'algorithme de Newton (la valeur initiale peut être obtenue graphiquement), indication $y'0 ≈ 3,14$

Réponse n°1:

Mon code python:
$def$  $F(x):$ (fonction que je récupère de l'énoncé $xexp\frac {1}{1+x} = 4$)
   $return$  $x*np.exp(1/(1+x))-4$

$def$ $Fp(x):$ (ma dérivée de F(x))
    $return$  $(1-x/(1+x)**2)*np.exp(1/(1+x))$

A l'aide de l'indication $y'0 ≈ 3,14$ ,j'initialise une variable
$x = 2$

Alors pour 5 itérations de l'algorithme de Newton, j'obtiens le résultat suivant :
$for$ $i$ $in$ $range(5):$
    $x = x - F(x)/Fp(x)$
    $print(x)$

La dernière itération vaut $x = 3,1420213865119737$

Est-ce que vous êtes d'accord avec moi ?

Dernière modification par Koala_97441 (04-02-2023 11:54:10)

Koala_97441

Membre

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Re : Dérivée d'une fonction

Bonjour,

Je reviens vers vous sur ce sujet car je coince dans ma progression...
Le contexte est le suivant :

Soit l’équation différentielle suivante :

(1a) $yy'xexp\frac {y}{1+y'} = 4$
(1b) $y(0) = 1$

Question n°1:

Cette équation ne prend pas la forme $y′ = f (y)$. Elle définit de façon implicite $y'$ car on ne saura pas transformer l’équation (1a) en une relation $y′ = f (y)$. Il nous faudra donc, à chaque itération et connaissant la valeur de $y$ à cet instant précis, calculer $y′$ par une méthode numérique comme l’algorithme de Newton.

J'ai répondu à la première question suivante, qui faisait l'objet de ma demande initiale sur le sujet :

Sachant que $y(0)$ vaut 1, $y′(0)$ doit vérifier l’équation:
$xexp\frac {1}{1+x} = 4$ en vertu de la relation (1a). Calculer $y'(0)$ grâce à l'algorithme de Newton (la valeur initiale peut être obtenue graphiquement), indication $y'0 ≈ 3,14$

Réponse n°1:

Mon code python:
$def$  $F(x):$
   $return$  $x*np.exp(1/(1+x))-4$

$def$ $Fp(x):$
    $return$  $(1-x/(1+x)**2)*np.exp(1/(1+x))$

A l'aide de l'indication $y'0 ≈ 3,14$ ,j'initialise une variable
$x = 2$

Alors pour 5 itérations de l'algorithme de Newton, j'obtiens le résultat suivant :
$for$ $i$ $in$ $range(5):$
    $x = x - F(x)/Fp(x)$
    $print(x)$

La dernière itération vaut $x = 3,1420213865119737$

Est-ce que vous êtes d'accord avec moi ?

Et alors je coince à la question suivante...

Définir une fonction Python $yp()$ dont l’appel $yp(y,y′(0))$ calcule, grâce à l’algorithme de Newton, étant donné $y$ et une valeur de initiale $y′0$, la valeur $y′$ vérifiant (1a). Par exemple, $yp(1.6, 0.5)$ devrait retourner la valeur $y′$ correspondant au cas où $y$ prendrait la valeur $1,6$ (l’algorithme de Newton déterminant $y′$ étant initialisé avec une première estimation égale à $0,5$).

Je dois notamment retomber sur les relations suivantes :
$yp(1.0, 3.0)$ vaut approximativement $3,14$
$yp(1.4, 1.7)$ vaut approximativement $1,70$
$yp(1.8, 0.8)$ vaut approximativement $0,83$.

Je suis un peu perdu dans l'initialisation des variables...  Est-ce que vous voyez comment procéder ?
Merci d'avance

Dernière modification par Koala_97441 (04-02-2023 11:54:24)