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Kurt

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Inégalité et intégrale

Bonjour
Soit $p(u,x):=(4 \pi u)^{-1/2} e^{-\frac{x^2}{4u}},\ u>0,\ x \in \mathbb{R}.$
Soit $\phi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R})$
Prouver que pour tout $u>0,\ \beta>1/2,$ il existe $\epsilon>0,\ C>0$ tel que pour tout $\lambda \in ]0,1],$ $$\int_0^{u}\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}\lambda^{-1}\phi(y_1/\lambda)p(r,y_1-y_2)dy_1\right)^2dy_2dr\leq Cu^\epsilon \lambda^{1-2\beta}.$$
Comment prouver l'inégalité ci-dessus ?
Merci.

Dernière modification par Kurt (31-01-2023 22:15:39)

Kurt

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Re : Inégalité et intégrale

Alors, avez-vous des idées? Merci

Roro

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Re : Inégalité et intégrale

Bonjour,

Nous avons certainement des idées, mais il faut que tu nous en dise un peu plus : d'où vient cette question ? qu'as-tu essayé ? Pourquoi bloques-tu ?

En première approche, je ferai les changements de variables suivants : $y_1=\lambda z_1$, $y_2=\lambda z_2$ et $r=\lambda^2 s$.

Ensuite, tu dois voir un lien avec la convolution... et peux être utiliser certaines propriétés liées à ce produit de convolution.

Roro.

Kurt

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Re : Inégalité et intégrale

Bonjour, il s'agit d'une question préliminaire d'un exercice de la théorie de distributions.

En utilisant votre changement de variable, on obtient $\lambda\int_0^{u/\lambda^2}\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}\phi(y_1)p(r,y_1-y_2)dy_1\right)^2dy_2dr,$ on peut avoir une convolution, et peut etre appliquer l'inegalité de Young, alors le probleme est comment faire apparaitre $\beta$?