Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ggenouville

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Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

Bonsoir à tous
J'ai trouvé cette approximation en faisant mon TIPE.

Sur [tex]\left [ 0,1 \right ][/tex],
[tex]\frac{1-\cos(\pi x)}{2}\simeq -2x^{3}+3x^{2}[/tex]

Avec pour précision de presque 1% !

Je n'ai pas réussi à trouvé un développement limité qui expliquerait cela, quelqu'un serait-il plus éclairé que moi sur ce sujet ?

Ca ressemble à ces formules non démontrés qu'on trouvait au 19e et 20e siècle pour calculer plus facilement des objets trigonométriques.

En tout cas je n'ai pas réussi à trouver cette approximation dans un livre.

Michel Coste

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Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

Bonjour,

Un développement limité donne une information locale au voisinage d'un point, pas sur l'intervalle [0,1] entier.
Que se passe-t-il si tu projettes orthogonalement ta fonction (pour le produit scalaire [tex]\langle f,g\rangle =\int_0^1f(t)g(t)\,dt[/tex] sur l'espace des fonctions réelles continues sur [0,1]) sur le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 ?

ggenouville

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Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

Bonsoir

En effet je n'avais pas beaucoup d'espoir avec un développement limité.

Je n'avais pas pensé au projeté, en effet !
Cela me fait penser à une autre question que je me suis posé en réfléchissant à mon TIPE : Si on considère [tex]E=C([a,b],[c,d])[/tex], est ce que je peux trouver la fonction de [tex]E[/tex] la "plus éloignée" de [tex]F[/tex] sous espace de [tex]E[/tex] ? Ou du moins la distance maximale ?
Par fonction la "plus éloignée" j'entends bien sûr celle qui a le plus grand projeté au sens de la norme citée plus haut.

Dans mon cas, [tex]E=f\in C([0,1],[0,1]) | f croissante, f(0)=0, f(1)=1[/tex] et [tex]F=E\cap R_5[X][/tex]

Michel Coste

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Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

La distance d'un élément de E à F est la distance entre cet élément et son projeté orthogonal sur F.
Je ne comprends donc pas le sens de ta phrase "Par fonction la "plus éloignée" j'entends bien sûr celle qui a le plus grand projeté au sens de la norme citée plus haut". J'ai l'impression que tu te mélanges les pinceaux.
Ton E n'est pas un espace vectoriel.

Dernière modification par Michel Coste (01-02-2023 10:33:42)

Bernard-maths

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Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

Bonjour à tous !

Je vais présenter ici une façon "pratique graphique" d'utiliser cette approximation de fonction.

Je note f(x) = [1 - cos(π x)] / 2, en vert ; g(x) = -2x3 + 3 x2, en rouge ; h(x) = f(x) – g(x), en bleu.

On constate bien que l'approximation est de l'ordre de 0.01 vers le point B, et vers son symétrique B’ par rapport à 0.5 sur l'intervalle [0 ; 1]. De plus A(0.5 ; 0.5) est centre de symétrie des 2 courbes ...

Cette approximation peut être considérée comme "sympathique" vu les coefficients entiers de la fonction polynôme g. Alors si c'est sympathique, pourquoi ne pas en faire un "prolongement par périodicité" ?

D'abord, l'intervalle [0 ; 1] n'est que la moitié de la période de la 1ère fonction f en cos, et donc par symétrisation par rapport à l'axe des ordonnées (on remplace x par abs(x) ) , on passe de la 2ème fonction g à sa symétrique g2, en mauve :

On voit en mauve la fonction g2 symétrique de g, et en bleu clair la fonction h2 = f - g2.
On voit que maintenant c'est sur l'intervalle [-1 ; 1] que f et g2 sont pratiquement "confondues", soit sur une période de la fonction f.
On veut donc reproduire par périodes d'amplitude 2 le morceau de courbe de g2 entre -1 et 1 !

Voici alors la courbe que l'on obtient ...

L'expression de g3, en jaune sur le fond vert de f, est obtenu par une méthode que je vais présenter dans une autre discussion. J'y ferai référence ici en temps utile ... Cette méthode est générale, et extensible à l'espace !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (01-02-2023 14:49:13)

Michel Coste

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Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

Cette approximation est moins jolie, mais elle est optimale pour la norme [tex]L^2[/tex] sur [tex][0,1][/tex]) :

1680*x^3*(1/pi^2 - 10/pi^4) - 2520*x^2*(1/pi^2 - 10/pi^4) + 60*x*(17/pi^2 - 168/pi^4) - 90/pi^2 + 840/pi^4 + 1/2

Dernière modification par Michel Coste (01-02-2023 15:50:23)

Bernard-maths

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Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

L'éternel problème d'une formule, c'est de savoir à quoi ça va servir !

Ta formule colle vraiment bien à la courbe de f, SAUF près des sommets. Du coup, y veut on des tangentes horizontales, ou non ???

SI oui, avec une approximation polynôme du 3ème degré, on retombe sur g ...

Heureusement qu'il y a tous ces gadgets pour nous amuser !

B-m

Padawan

Invité

Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

Bonjour,

Je ne comprends pas très bien comment on passe de $s(x) = sin(\frac{\pi x}{2})^2$ à $-2x+3x^2$.

En effet, si je prends les fonctions
$P_0(x) = 1$
$P_1(x) = 2 \sqrt{3}(x- \frac{1}{2})$
$P_2(x) = \sqrt{5}(6x^2-6x+1)$
$P_3(x) = 20 \sqrt{7}(x^3- \frac{3}{2}x^2+ \frac{3}{5}x- \frac{1}{20})$

Sauf erreur, on a quatre fonctions normées et orthogonales si on considère le produit scalaire $\langle f,g\rangle =\int_0^1f(t)g(t)\,dt$.

On a
$\langle s,g\rangle =\int_0^1s(t)P_0(t)\,dt = \frac{1}{2}$
$\langle s,g\rangle =\int_0^1s(t)P_1(t)\,dt = \frac{2 \sqrt{3}}{\pi^2}$
$\langle s,g\rangle =\int_0^1s(t)P_2(t)\,dt = 0$
$\langle s,g\rangle =\int_0^1s(t)P_3(t)\,dt = \frac{12 \sqrt{7}(\pi^2-10}{\pi^4}$

toujours sauf erreur.

Et là, je ne vois pas du tout comment on remonte à $-2x+3x^2$.

Ma question est sans doute stupide, mais, si quelqu'un peut m'expliquer ...

Cordialement

Michel Coste

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Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

La projection orthogonale sur l'espace des polynômes de degré 3 donne le polynôme que j'ai écrit.
Comme l'a écrit Bernard, le seul polynôme [tex]P[/tex] de degré 3 qui vérifie [tex]P(1)=1[/tex] et [tex]P(0)=P'(0)=P'(1)=0[/tex] est [tex]-2x^3+3x^2[/tex], comme le montre le tableau de différences divisées
[tex]\begin{array}{ccccccc}0&&0&&1&&1\\\hline 0&&0&&1&&1\\ &0&&1&&0&\\ &&1&&-1&&\\ &&&-2&&&\end{array}[/tex]
qui donne (en lisant le côté gauche du triangle en descendant : [tex]0+0\times X+1\times X^2-2\times X^2(X-1)[/tex].

C'est une approximation moins bonne que le projeté pour la norme [tex]L^2[/tex], bien sûr.

Dernière modification par Michel Coste (01-02-2023 23:51:24)

Bernard-maths

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Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

Bonjour !

Je vais essayer d'être simple ... Voir les courbes en #5, la fonction en cos a une allure de courbe polynôme du 3ème degré entre 0 et 1, en vert. La courbe g proposée du 3ème degré est en rouge ... L'auteur de cette formule de g a sans doute pensé, on a : f(0) = f(1) = 0 et f'(0) = f'(1) = 0 aussi. On a 4 conditions permettant d'écrire 4 équations ... Si f(x) = ax³ + bx² + cx + d, alors f'(x) = 3ax² + 2bx + c. Ce qui donne le système :
f(0) = 0 => d = 0
f(1) = 0 => a + b + c + d = 0
f'(0) = 0 => c = 0
f'1) = 0 => 3a + 2b = 0

Ce qui donne a = -3 et b = 2, avec c = d = 0 ; on retrouve la fonction g !

C'est une manière de trouver une approximation de f, parmi d'autres, selon les objectifs qu'on se donne ...

Voilà 2 réponses, avec celle de Michel.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (01-02-2023 18:06:36)

Padawan

Invité

Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

Merci beaucoup pour vos réponses.
C'est clair pour moi

Michel Coste

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Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

Hum, Bernard, tu t'es un peu emmélé les pinceaux !
Ton "f(1) = 0 => a + b + c + d = 0" colle mal avec "Ce qui donne a = -3 et b = 2, avec c = d = 0". Mais en fait c'est f(1)=1 que tu veux !

Une troisième approximation par un polynôme de degré 3 :
7*x^3*(60/pi^2 - 720/pi^4 + 1) - 21/2*x^2*(60/pi^2 - 720/pi^4 + 1) + 3/2*x*(140/pi^2 - 1680/pi^4 + 3)
Qu'en penses-tu, Bernard ?

Bernard-maths

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Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

Hum ! Lapsus calami en recopiant, c'est l'âge !

Il y a forcément beaucoup d'approximations possibles au 3ème degré ; comme j'ai dit, faut savoir ce qu'on veut en faire ...

Cette dernière colle un peu mieux aux tangentes en 0 et 1 ! Mais surtout elle est d'une "excellente" précision : je relève 0.00327 pour x = 0.85+, bravo !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (02-02-2023 11:59:00)

Michel Coste

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Re : Un drôle d'approximation polynomial des fonctions trigonométriques

La troisième approximation que j'ai donnée est la projection orthogonale (au sens [tex]L^2[/tex]) de la fonction considérée sur le sous-espace affine de l'espace des polynômes de degré au plus 3 formé des polynômes qui prennent la valeur 0 et 0 et la valeur 1 en 1.
En norme [tex]L^2[/tex], la distance de la fonction considérée à l'espace des polynômes de degré 3 est 0.0014. La distance à [tex]-2x^3+3x^2[/tex] est 0.0067. La distance à la dernière approximation que j'ai donnée est 0.0020.