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ROUAG

Invité

Trouver pour quelle valeur de $a$ F(x,y) est injective

Bonsoir
Je n'arrive pas à répondre à cette quesiton:
Soit a ∈ R. Pour tous $(x, y) ∈ R^2$, posons
$F (x, y) := (x + a.sin^2(x − y), y + a.cos^2(x − y))$.
Pour quelles valeurs de $a$ l’application F est-elle injective
J'essayé de prouvé que pour tous $(x_1,y_1),(x_2,y_2)∈ R^2$ si $F(x_1,y_1)=F(x_2,y_2)$ alors $(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$, mais je n'y suis pas arrivé.
Pourriez vous m'aider
Merci

Roro

Membre expert

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Messages : 1 802

Re : Trouver pour quelle valeur de $a$ F(x,y) est injective

Bonjour,

Sans vraiment avoir d'idée, j'aurai fait comme toi. Suppose que $F(x_1,y_1)=F(x_2,y_2)$. Tu obtiens deux équations et en faisant la somme et la différence tu en déduis
$$x_1+y_1 = x_2+y_2$$
et une équation de la forme
$$f(x_1-y_1) = f(x_2-y_2)$$
où $f(z)=z-a\cos(2z)$.

Voir ensuite la question de l'injectivité de $f$... mais j'ai peut être fait des erreurs.

Roro.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Trouver pour quelle valeur de $a$ F(x,y) est injective

Bonjour,

Dans la ligne de ce qu'écrit Roro, en faisant le changement de variables [tex]u=x+y,\ v=x-y[/tex] au départ et à l'arrivée, on est ramené à se demander pour quelles valeurs de [tex]a[/tex] l'application
[tex](u,v)\mapsto (u+a, v-a\cos(2v))[/tex]
est injective.

Dernière modification par Michel Coste (01-02-2023 10:25:01)

ROUAG

Invité

Re : Trouver pour quelle valeur de $a$ F(x,y) est injective

Merci beaucoup pour vos aides,
J'ai trouvé que la fonction f(z)=z-acos(2z) est injective pour tout $a∈[\frac{-1}{2},\frac{1}{2}]$
donc F(x,y) est injective pour tout $a∈[\frac{-1}{2},\frac{1}{2}]$
ROUAG