Equation différentielle

Koala_97441 · 31-01-2023 07:53:15

Bonjour,

Je commence un cours sur les équations différentielles, j'ai quelques difficultés.

On me donne l'équation différentielle suivante, y' = (1 - t) / 1 + y)

On suppose que la solution à cette équation, prend la forme U(t) = √(at² + bt +c) +d.

Je dois démontrer que l'équation y', peut s'écrire sous la forme d'une relation de la forme :
(At + B) + (Ct + D)√(at² + bt +c) = 0

A, B, C, D dépendent éventuellement de a, b, c, et d mais pas de t.

J'imagine que je dois me servir de U(t) ? Mais je ne sais pas comment faire...
Si vous avez quelques pistes.

Merci d'avance,
Bonne journée.

Dernière modification par Koala_97441 (31-01-2023 08:56:06)

Ginger40 · 31-01-2023 09:15:47

Bonjour !

Déjà je pense qu'il manque une parenthèse, en tout cas j'ai compris que tu parles de cette équation différentielle :
$$
y'(t) = \frac{1-t}{1+y(t)}
$$

Maintenant, pour une équation différentielle il est toujours important de préciser sur quel intervalle $I$ on la résout (i.e. $t\in I$), et pour quel ensemble de fonctions.
Par exemple ici on peut voir qu'il faut un espace de fonction où $y$ ait la gentillesse de ne jamais valoir $-1$, et qui doit être au moins dérivable sur l'interval $I$.

On peut voir l'importance de choisir $I$ car quand tu écris "On suppose que la solution à cette équation, prend la forme U(t) = √(at² + bt +c) +d." et bien il faut un minimum de condition sur $a,b,c$ pour que $u$ soit ne serait-ce que défini et dérivable sur $I$.

Une fois le cadre posé, on peut s'attaquer à la question.

L'énoncé est sympa et donne directement la forme de toute solution à ton équation différentielle. C'est-à-dire que si $y$ est une fonction qui vérifie $y'(t) = \frac{1-t}{1+y(t)}$ alors il existe $a,b,c,d$ réels tels que $y(t) = \sqrt{at^2+bt+c}+d$ (sous conditions d'existence et de dérivabilité sur $I$ comme dit plus haut).
Pour avoir la nouvelle forme de l'équation, essaie de réinjecter cette forme que tu viens de voir pour $y$ dans ton équation. Donc il faut commencer par dériver $y$ puis essayer de regrouper les terms de la même manière que l'énoncé.

Dernière modification par Ginger40 (09-02-2023 13:25:27)

Koala_97441 · 31-01-2023 11:27:08

Merci pour votre aide.

Effectivement on nous demande de trouver la dérivée au départ pour :
$y(t) = \sqrt {at^2 + bt + c} + d$

Cela donne pour moi :
$y'(t) = \frac {2at + b}{2\sqrt {-at^2 + bt + c}}$

J'ai la dérivée donc. J'aurais tendance à vouloir résoudre ceci :

$\frac {2at + b}{2\sqrt {at^2 + bt + c}} = \frac {1- t}{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d }$

Puis

$\frac {2at + b}{2\sqrt {at^2 + bt + c}} * \frac {1- t}{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d }$ = 0

Je suis pas sure de remplacer les bons termes…? Ca me semble compliquer à résoudre de cette façon..

Dernière modification par Koala_97441 (31-01-2023 13:36:22)

Ginger40 · 31-01-2023 13:50:36

C'est l'idée et la dérivée est bonne !

Après par contre il y a un gros cafouillage dans les calculs. La partie $ \frac {2at + b}{2\sqrt {at^2 + bt + c}} = \frac {1- t}{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d }$ est correcte, mais tu ne peux pas passer de ça à :
$$
\frac {2at + b}{2\sqrt {at^2 + bt + c}} \times \frac {1- t}{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d } = 0
$$
Tu peux soit additionner des 2 côtes par $-\frac {1- t}{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d }$ et tu obtiens :
$$
\frac {2at + b}{2\sqrt {at^2 + bt + c}} - \frac {1- t}{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d } = 0
$$
Soit multiplier des deux côtés par $\frac{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d }{1-t}$ (sous réserve de $t \neq 1$) et tu obtiens :
$$
\frac {2at + b}{2\sqrt {at^2 + bt + c}} \times \frac{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d }{1-t} = \frac {1- t}{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d } \times \frac{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d }{1-t} = 1
$$

Le plus simple ici, vu ce qui est demandé, est de mettre tous les dénominateurs à 1 en multipliant par $2\sqrt {at^2 + bt + c}$ et $1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d $ ce qui donne alors :
$$
(2at + b)\times(1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d) = (1-t)\times 2\sqrt {at^2 + bt + c}
$$
Et il ne reste plus qu'à tout réunir !

[EDIT]: Ouhla oui j'ai écrit n'importe quoi, merci de m'avoir repris Black Jack

Dernière modification par Ginger40 (01-02-2023 09:03:44)

Black Jack · 31-01-2023 19:04:05

Ginger40 a écrit :

C'est l'idée ! Juste la dérivée n'est pas exacte, tu as oublié un $+d$ au dénominateur. On a donc :
$$
y'(t) = \frac{2at+b}{2\left(\sqrt{at^2+bt+c}+d\right)}
$$
Après par contre il y a un gros cafouillage dans les calculs. La partie $ \frac {2at + b}{2(\sqrt {at^2 + bt + c}+d)} = \frac {1- t}{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d }$ est correcte, mais tu ne peux pas passer de ça à :
$$
\frac {2at + b}{2\left(\sqrt {at^2 + bt + c}+d\right)} \times \frac {1- t}{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d } = 0
$$
Tu peux soit additionner des 2 côtes par $-\frac {1- t}{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d }$ et tu obtiens :
$$
\frac {2at + b}{2\left(\sqrt {at^2 + bt + c}+d\right)} - \frac {1- t}{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d } = 0
$$
Soit multiplier des deux côtés par $\frac{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d }{1-t}$ (sous réserve de $t \neq 1$) et tu obtiens :
$$
\frac {2at + b}{2\left(\sqrt {at^2 + bt + c}+d\right)} \times \frac{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d }{1-t} = \frac {1- t}{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d } \times \frac{1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d }{1-t} = 1
$$
Le plus simple ici, vu ce qui est demandé, est de mettre tous les dénominateurs à 1 en multipliant par $2(\sqrt {at^2 + bt + c}+d)$ et $1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d $ ce qui donne alors :
$$
(2at + b)\times(1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d) = (1-t)\times 2(\sqrt {at^2 + bt + c}+d)
$$
Et il ne reste plus qu'à tout réunir !

Bonjour,

Il ne faut pas le " + d" au dénominateur de la dérivée.

Koala_97441 · 01-02-2023 08:20:02

Merci pour votre aide, à tous les deux !

Koala_97441 · 04-02-2023 16:46:43

Bonjour à vous,
J'ai une nouvelle question s'il vous plait.

Je vous redonne le contexte. J'ai l'équation différentielle suivante :
$y' = \frac{1-t}{1+y}$ (1a)
$y(0) = 0$ (1b)

La fonction $F(t)= \sqrt {at^2 + bt + c}+d$ est solution de l'équation différentielle.
Sachant que l'équation (1a) peut etre ecrite sous la forme d'une relation de la forme
$(At + B) + (Ct + D) \sqrt {at^2 + bt + c} = 0$ (2)

Je dois déterminer, à l'aide de la condition initiale 1(b), les valeurs $a,b,c$ et $d$.
La relation (2) doit être identiquement nul, c'est à dire pour toutes les valeurs de t, on a à résoudre un système d'équations $A = B = C = D = 0$.

Je dois retrouver les valeurs suivantes
$a = -1$
$b = 2$
$c = 1$
$d = -1$

Pourrez vous m'indiquez comment je dois m'y prendre s'il vous plait ?
Merci d'avance.

Fred · 04-02-2023 18:27:51

Bonjour,

En fait, tu es toujours coincé au problème initial. As-tu suivi les indications de Ginger40 et de BlackJack pour exprimer A,B,C,D en fonction de a,b,c,d ???? C'est cela le noeud du problème!

F.

Koala_97441 · 05-02-2023 10:11:40

Fred a écrit :

Bonjour,
En fait, tu es toujours coincé au problème initial. As-tu suivi les indications de Ginger40 et de BlackJack pour exprimer A,B,C,D en fonction de a,b,c,d ???? C'est cela le noeud du problème!
F.

Bonjour,
En essayant de tout réunir voila jusqu'où j'y arrive :

$$
(2at + b)\times(1+\sqrt {at^2 + bt + c} + d) = (1-t)\times 2(\sqrt {at^2 + bt + c}+d)
$$

Je développe des 2 cotés dans un premier temps :

$$
2at + 2at\sqrt {at^2 + bt + c} + 2atd + b + b\sqrt {at^2 + bt + c} + db = 2\sqrt {at^2 + bt + c} + d -2t\sqrt {at^2 + bt + c} - dt
$$

Je bascule le tout du meme côté :

$$
2at + 2at\sqrt {at^2 + bt + c} + 2atd + b + b\sqrt {at^2 + bt + c} + db - 2\sqrt {at^2 + bt + c} - d + 2t\sqrt {at^2 + bt + c} + dt = 0
$$

Je vois que je peux simplifier l'expression en factorisant par $\sqrt {at^2 + bt + c}$ , cela me donne :

$$
\sqrt {at^2 + bt + c}(2at + b -2 + 2t) + 2at + 2atd + b + db - d + dt = 0
$$

C'est là ou je coince un peu, j'essaye de simplifier encore à l'aide de t, de b:

$$
\sqrt {at^2 + bt + c}(2at + b -2 + 2t) + t(2a + 2ad + d) + b(1 +d) - d= 0
$$

Et là je ne sais plus, ce que j'ai le droite de faire... :)

Fred · 05-02-2023 11:11:49

Je n'ai pas suivi tous les calculs, mais :

Koala_97441 a écrit :

Je développe des 2 cotés dans un premier temps :
$$
2at + 2at\sqrt {at^2 + bt + c} + 2atd + b + b\sqrt {at^2 + bt + c} + db = 2\sqrt {at^2 + bt + c} + d -2t\sqrt {at^2 + bt + c} - dt
$$
Ici, il me semble qu'il manque des 2 devant les $d$ à droite, non?

Je bascule le tout du meme côté :

C'est là ou je coince un peu, j'essaye de simplifier encore à l'aide de t, de b:
$$
\sqrt {at^2 + bt + c}(2at + b -2 + 2t) + t(2a + 2ad + d) + b(1 +d) - d= 0
$$
Et là je ne sais plus, ce que j'ai le droite de faire... :)

Modulo tes erreurs de calculs précédentes, tu y est presque. Pourquoi ne pas aussi factoriser par $t$ dans le premier terme :
$$\big( (2a+2)t+(b-2) \big) \sqrt {at^2 + bt + c} +\big ( (2a+2ad+d)t+\big(b (1+d)-d \big) \big)=0.$$

Là je pense que tu peux exprimer facilement $A,B,C,D$ en fonction de $a,b,c,d$ - mais attention, relis bien tes calculs pour voir s'il n'y a pas d'autres erreurs que celle que je t'ai déjà signalée!

F.

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