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relique

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Exercice fonction

Bonjour, je viens de sortir de mon partiel d'analyse et un exercice m'a questionné et je voulais savoir si ma méthode de résolution fonctionne , voici l'énoncé :
Soit f R -> R une fonction dérivable tel que f'(x) > x^2 pour tout x dans R.
Montrer qu'il existe un x tel que f(x) = x.
Alors j'ai commencé  par déduire par comparaison que $ \lim_{x \to +∞} $ f'(x) = +∞
Ensuite j'ai montré que cela impliquait que $ \lim_{x \to +∞} $ f(x) = +∞
j'ai posé la fonction g(x) = f(x)-x
Donc g'(x)= f'(x)-1
On a donc $ \lim_{x \to +∞} $ g'(x) = +∞
Donc $ \lim_{x \to +∞} $ g(x) = +∞
Donc $ \exists $ xo $ \in R $ tel que $\forall $ x > xo on a g(x) > 0.
Ensuite j'ai considéré la fonction -g(-x) = -f(-x) -x
En dérivant on trouve f'(-x)-1
Or $ \lim_{x \to -∞} $ f'(x) = +∞ donc $ \lim_{x \to +∞} $ f'(-x) = +∞
Ainsi $ \lim_{x \to +∞} $ (-g(-x))' = +∞
Ainsi $ \lim_{x \to +∞} $ -g(-x) = +∞
Donc $ \lim_{x \to +∞} $ g(-x) = -∞
Et donc enfin $ \lim_{x \to -∞} $ g(x) = -∞
Il existe donc une borne x1 < x0 tel que  $\forall $ x < x1 on ait g(x) < 0.
La fonction g étant dérivable elle est continue donc on applique le théorème des Valeurs intermédiaires et on obtient le résultat...
Voilà si quelqu'un pouvait me donner son avis car je ne suis vraiment pas sur et que la solution m'intéresse!

Dernière modification par relique (24-01-2023 16:47:17)

Fred

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Re : Exercice fonction

Bonjour

  Oui ça a l'air de fonctionner....

F.

relique

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Re : Exercice fonction

Ca marche merci beaucoup! (: