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renéb

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Racinne carrée, extraction à la main. inédite?

Bons-jours,

Que ces derniers, tout attelé que j’étais à illustrer et partager ce qui m’est apparu comme une découverte.
"Qui trouve, cherche".

Il existe plusieurs méthodes d’extraction de racine carrée à la main.
J’ai le plaisir de vous en présenter une qui me semble inédite ; je la soumets à votre sagacité.

Je renvois à la rubrique « programmation » pour ce qui est du programme développé pour extraire une racine, chiffre par chiffre, suivant l’algorithme mis à l’épreuve (découverte pour moi en tous cas).
L’exemple choisi portera sur phi le nombre d’or.        $\frac{1+\sqrt5}{2}$   oblige.
Extraire la racine de 5 et simultanément, de suite (sur le même chiffre) opérer sa division par 2 non sans avoir omis au préalable d’incrémenter d’une unité la valeur entière de la racine.

La découverte consiste à prendre en compte la différence entre un chiffre incrémenté d’ 1/10 élevé au carré et le carré de ce même chiffre avec...  différence entre le nombre dont on calcule la  racine et ...

Bon, rien ne vaut qu’un exemple.
Soit nb = 5
(partie entière)² < 5 = 2                racine de 5 :     2 ,

(2,1)² – 2 ²= 0,41
différence entre 5 et 2 ² = 1
1 / 0,41 = 2,439 => on retient 2            racine de 5 :      2 , 2,

(2 , 2 1)² – ( 2 , 2 ) ²= 0,0441
différence entre 5 et 2,2 ² = 0,16
0,16 / 0,0441 = 3,628 => on retient 3        racine de 5 :      2 , 2 , 3,

(2 , 2 3 1 )² – ( 2 , 2  3 ) ²= 0,004461
différence entre 5 et 2 , 2 3 ² = 0,0271
0,0271/ 0,004461 = 6,074 => on retient 6        racine de 5 :      2 , 2 , 3 , 6,

etc.

Simple d’ extraire, à coup sûr, chaque chiffre de la racine.
J’ai pu vérifier le résultat de phi sur 1000 décimales.
Avez-vous connaissance de cette façon de calculer à la main les racines carrées ?

J’aimerais que soit « théorisé » cette méthode eten apprendre d’avantage sur ses concepts.

A bientôt

RB

Glozi

Invité

Re : Racinne carrée, extraction à la main. inédite?

Bonjour,
Je vais essayer de "mathématiser" un peu tout ça :
On se donne $N>0$ un entier (voire peut être un réel positif) dont on cherche la racine (dans ton cas $N=5$).
On introduit une suite :
$u_0 = \lfloor \sqrt{N} \rfloor$ (cette notation $\lfloor \cdot \rfloor$ signifie simplement "partie entière").
Ensuite pour $n\geq 1$ on défnit par récurrence :
$u_n := u_{n-1} + \frac{1}{10^n}\lfloor \frac{N- u_{n-1}^2}{\left(u_{n-1}+\frac{1}{10^n}\right)^2- u_{n-1}^2}\rfloor$.

Mathématiquement parlant on doit avoir $u_n \to \sqrt{N}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Je pense qu'on peut même conjecturer quelque chose du genre $\forall n \in \mathbb{N} |u_n-\sqrt{N}| \leq \frac{1}{10^n}$ (une récurrence à faire j'imagine).

Grosso modo pourquoi ça marche ?
Car supposons que $u_{n-1}$ soit une approximation de $\sqrt{N}$ à $10^{-(n-1)}$ près. Alors en notant $f(x)=x^2$, on a :
$\frac{N-u_{n-1}^2}{\left(u_{n-1}+\frac{1}{10^n}\right)^2- u_{n-1}^2} = \frac{f(\sqrt{N})- f(u_{n-1})}{f(u_{n-1}+1/10^n)- f(u_{n-1})} \simeq \frac{f'(u_{n-1}) (\sqrt{N}-u_{n-1})}{ f'(u_{n-1})(u_{n-1}+1/10^n - u_{n-1}) } \simeq 10^n(\sqrt{N}-u_{n-1}).$
Ainsi on zoom bien à la bonne échelle pour obtenir $u_n$ à  la précision $10^{-n}$.

Pour moi le seul point délicat va être de bien gérer les $n$ et $N$ petits. Typiquement si $N=0.01$ alors pour les premières valeurs de $n$ la conjecture que j'ai énoncée plus haut est fausse pour les quelques premiers petits $n$.

Sinon je pense que cet algo se généralise si on remplace $1/10$ par $0<a<1$, typiquement $1/2$ ou $1/16$ pour avoir des divisions efficaces sur ordinateur.

Enfin je ne sais pas si cet algo existait déjà tel quel mais il en existe un paquet et des très efficaces : https://fr.wikipedia.org/wiki/Extractio … arr%C3%A9e
Bonne journée

yoshi

Modo Ferox

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Re : Racinne carrée, extraction à la main. inédite?

RE,

J’ai pu vérifier le résultat de phi sur 1000 décimales

Grâce à ta calculette à 10 chiffres, tu as pu faire 1000 divisions avec Dividende et diviseur décimaux ?
Alors pourquoi es-tu resté scotché à 12 décimales pour l'exponentielle e

Ou t'es-tu appuyé 1000 divisions à la main ???
Si oui, bravo ! Respect !
Et félicitations pour avoir utilisé le code Latex dans ton post...

Je vais tâcher de trouver le temps d'informatiser ta découverte pour voir ça se plus près.
                                   -----------------------------------------------------------------------------
@Glozi
Pour l'instant, l'algo le plus impressionnant que j'ai pu voir est celui de Heron d'Alexandrie, adapté sur Python en utilisant le module decimal : j'ai obtenu 50 000 décimales dans la s (0,9 s), pour $\sqrt 5$, en seulement 17 itérations...
Curieux, non ?
En modifiant le script pour rechercher une racine entière, la méthode de Heron m'a permis d'obtenir la racine entière d'un nombre entier de 100 chiffres en 15/1000e s et 5 itérations :
r étant cette racine entière et n le nombre, j'ai bien vérifié que $r^2<n<(r+1)^2$

Je vais regarder les autres méthodes (sur Wiki) de plus près : je ne crois pas y avoir vu la technique ("à la main") que j'avais apprise quand j'étais Lycéen en 4e...

@+

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renéb

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Re : Racinne carrée, extraction à la main. inédite?

Bonsoir,

"Alors pourquoi es-tu resté scotché à 12 décimales pour l'exponentielle e" ?
Je sais pas, je vois pas, "e" hors sujet je crois.

Pour ce qui est des 12 décimales, elles correspondent à la limite des calculs "float".
J'ai limité à 12 décimales pour pouvoir comparer les résultats calculettes et ceux de l'algorithme car, comme l'indique Glozi il y a un risque de dérapage dans le début de l'extraction de la racine.

https://mail.google.com/mail/u/0?ui=2&i … 58b8c65251

C'est la page qui m'a permis de vérifier les décimales du nombre d'or. (On trouve ce qu'on peut).

Un tout grand merci, Glozi et Yoshi, pour me voir mathématisé un peu plus.
Je regarde tout cela à mon aise...  j'ai dèja des épanouissements en vue concernant ces notions à l'étude.

A bientôt.

RB

Dernière modification par renéb (19-01-2023 00:52:53)

Glozi

Invité

Re : Racinne carrée, extraction à la main. inédite?

Bonsoir,
Yoshi en effet la méthode de Héron a une vitesse quadratique (grosso modo en une étape de l'algo on double le nombre de chiffre significatifs obtenus, assez impressionnant je trouve). Sinon je ne suis pas familier avec ta méthode "à la main" mais je crois la reconnaître sur la page anglaise de wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_o … s#Examples
Bonne soirée

yoshi

Modo Ferox

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Re : Racinne carrée, extraction à la main. inédite?

Bonsoir,

je crois la reconnaître sur la page anglaise de wikipedia https://en.wikipedia.org

Effectivement !
Mais je n'aime pas du tout leur présentation !

@+

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yoshi

Modo Ferox

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Re : Racinne carrée, extraction à la main. inédite?

Re,

"Alors pourquoi es-tu resté scotché à 12 décimales pour l'exponentielle e" ?
Je sais pas, je vois pas, "e" hors sujet je crois.

Pour ce qui est des 12 décimales, elles correspondent à la limite des calculs "float".
J'ai limité à 12 décimales pour pouvoir comparer les résultats calculettes et ceux de l'algorithme car, comme l'indique Glozi il y a un risque de dérapage dans le début de l'extraction de la racine.

Mes plus plates excuses, je t'ai confondu avec A Ratomahenina...
Il nous avait présenté une valeur approchée de l'exponentielle, alias nombre d'Euler, avec 12 décimales en disant :

Mon calcul consiste en une sorte de rationalisation du nombre e qui sait peut-être qu'avec un certain calcul et des valeurs remarquables on tombe sur le nombre e et ce serait là une grande chance. Pour ma part je ne dispose que d'une calculatrice à 10 chiffres ..

en se refusant à utiliser la somme des inverses des factorielles... Avec cette méthode et Python et toujours son module decimal, je lui avais fourni les 100 premières décimales...
Et j'avais répondu à son allusion à la calculette que Euler avec les inverses des factorielles, avait, sans calculatrice ^_^, obtenu 23 décimales... Cf : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15730

@+

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