Isoclines

Vincent62 · 17-01-2023 03:45:18

Bonjour,

J'essaye de me familiariser avec les isoclines dans le cadre de la résolution d'équations différentielles.
Par exemple, si je considère l'équation différentielle [tex](E) : y'(t)=t-y^2(t)[/tex], les isoclines sont alors définies par [tex]I_c=\{(t,c)\in \mathbb{R}^2, t-y^2(t)=c\}=\{(t,c)\in \mathbb{R}^2,y^2(t)=t-c\}[/tex].

Ainsi, si [tex]t-c\le 0[/tex], il n'y pas de solution réelle pour [tex]y(t)[/tex], et si [tex]t-c\ge 0[/tex], alors [tex]y(t)=\sqrt{t-c}[/tex] ou [tex]y(t)=-\sqrt{t-c}[/tex].

Quant à leur nature géométrique, dans le cas où [tex]t-c\ge 0[/tex], les isoclines sont la réunion du graphe de la fonction [tex]t\to \sqrt{t-c}[/tex] et celui de la fonction [tex]t\to -\sqrt{t-c}[/tex].

Est-ce correct ?

Merci !

Dernière modification par Vincent62 (17-01-2023 03:46:53)

Fred · 17-01-2023 08:47:10

Bonjour,

Il y a déjà une erreur dans ta définition. Tu dois définir $I_c$ comme $I_c=\{(t,y)\in\mathbb R^2:\ t-y^2=c\}.$
(et non $(t,c)\dots$). Il n'y a pas non plus de raisons de mettre $y(t)$ dans la définition. Tu cherches des points du plan, tout simplement.
Ensuite, tu peux exprimer effectivement $y$ et fonction de $t$, ou $t$ en fonction de $y$. Pour ne pas être embêté par les racines carrées, tu peux dire que $t=y^2+c$. Et donc les isoclines sont des paraboles.

F.

Zebulor · 17-01-2023 11:57:09

Bonjour,
pour compléter la réponse de Fred, on doit pouvoir tracer ces paraboles, et d'autres courbes sur Geogebra, et y observer des choses intéressantes, indépendamment de l'aspect esthétique

Ca pourrait intéresser Bernard Maths :-)

Dernière modification par Zebulor (17-01-2023 11:59:03)

Bernard-maths · 17-01-2023 12:25:26

Hello Zebulor !

Que veux tu tracer ??? Style autrichien ?

Dernière modification par Bernard-maths (17-01-2023 14:03:09)

Zebulor · 17-01-2023 14:09:58

Hello Bernard Maths,
je pensais pouvoir visualiser qu'en chaque point de l'isocline de pente $c$ passe une solution de $(E)$ et que sa tangente en ce point a pour pente $c$.
.

Dernière modification par Zebulor (17-01-2023 15:57:28)

Vincent62 · 19-01-2023 03:10:10

Merci à vous !!
Du coup, les isoclines sont ici des paraboles d'axe [tex]Ot[/tex] dans le plan [tex]Oty[/tex].

Une question : lorsque que l'on trace le champ de vecteurs associé à l'équation différentielle, il s'agit bien du graphe de la fonction qui à chaque point [tex](t,y(t))[/tex] le vecteur [tex](1,F(t,y))[/tex] avec [tex]F(t,y)=t-y^2[/tex].
C'est bien ça ? Merci !

Dernière modification par Vincent62 (19-01-2023 03:21:17)

Fred · 19-01-2023 07:56:37

Re-

Oui, mais à nouveau il n'y a pas lieu de dire un point $(t,y(t))$, juste un point $(t,y)$.

F.

Vincent62 · 19-01-2023 08:29:48

D'accord Fred. Il y a alors un point sur lequel if faut que je m'attarde.
Quand j'écris [tex](t,y(t))[/tex], est-ce faux, ou simplement c'est plus simple d'écrire [tex](t,y)[/tex] ?

Aussi, j'ai le champ de vecteurs associé à cette équation différentielle. On me demande de dessiner diverses courbes intégrales suivant leur valeur initiale sur l'axe [tex]t=-2[/tex].
Bon, je sais que les courbes intégrales suivent les directions du champ de vecteurs.
Mais je ne comprends pas ce qu'on attend en précisant "sur l'axe [tex]t=-2[/tex]". On trace une droite verticale d'équation t=-2 et à partir de là, on suit les directions du champ de vecteurs ?

Merci

Michel Coste · 19-01-2023 09:18:53

Bonjour,

Je me permets de répondre à la place de Fred.
Le problème quand tu écris [tex](t,y(t))[/tex], c'est que ça n'a pas de sens : quelle est cette fonction [tex]y[/tex] ?
Ce qui a un sens, c'est le point [tex](t,y)[/tex] du plan, la valeur du champ de vecteurs en ce point, la courbe intégrale du champ de vecteurs passant par ce point.
Ce qu'on te demande, c'est de tracer les courbes intégrales du champ de vecteurs passant par des points de la forme [tex](-2,y)[/tex] pour plusieurs valeurs de [tex]y[/tex]. Tu vois bien que ça n'aurait pas de sens de noter ces points [tex](-2,y(-2))[/tex] ?

Vincent62 · 20-01-2023 03:02:50

Bonjour Michel, et merci pour ta réponse et ton temps.
Je ne vois toujours pas. Pour moi, y seul n'a pas de sens, car [tex]y[/tex] est une fonction de t dans l'écriture de l'équation différentielle.
Je vois [tex]y(t)[/tex] comme l'image de [tex]t[/tex] par la fonction [tex]y[/tex], donc je ne vois pas vraiment le non-sens dans le fait d'écrire [tex](t,y(t))[/tex].
Je vais laisser reposer tout ça, ça viendra ^^

Dernière modification par Vincent62 (20-01-2023 03:07:40)

Fred · 20-01-2023 07:47:21

Re-

Les champs de vecteurs et les isoclines existent indépendamment des solutions de l'équation différentielle. Pour les champs de vecteurs, à un point du plan tu associes un vecteur. Et un point du plan a bien ses coordonnées de la forme $(t,y)$ dans ton cas.

F.

Michel Coste · 20-01-2023 09:57:21

Il semble que tu as un blocage sur cette histoire de [tex]y[/tex]. Ça peut se comprendre parce qu'il y a un abus de notation qui fait que l'on appelle [tex]y[/tex] à la fois une fonction solution de l'équation différentielle et la deuxième coordonnée d'un point du plan.
Pour lever ce blocage, tu peux noter [tex](t,u)[/tex] un point du plan. L'isocline de pente [tex]c[/tex] est la parabole d'équation [tex]t=u^2+c[/tex]. Le point [tex](t_0,u_0)[/tex] appartient à cet isocline si et seulement si la solution [tex]t\mapsto y(t)[/tex] de l'équation différentielle [tex](E)[/tex] vérifiant la condition initiale [tex]y(t_0)=u_0[/tex] est telle que [tex]y'(t_0)=c[/tex].
Ça te va mieux comme ça ?
Le champ de vecteurs associé à l'équation différentielle est [tex](t,u)\mapsto (1,t-u^2)[/tex]. L'isocline de pente [tex]c[/tex] est aussi le lieu des points où le vecteur du champ a pente [tex]c[/tex].

Dernière modification par Michel Coste (20-01-2023 10:01:56)

Vincent62 · 20-01-2023 14:58:17

Merci Michel, on ne peut pas faire plus clair !

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