Origamis et calculs associés & cie

Bernard-maths · 18-01-2023 21:18:19

Bonsoir à tous !

Voilà un sujet qui me démange depuis quelques temps, alors je me lance !

Voici ma dernière création, vous me direz que je nage dans les dodécaèdres en ce moment.

Comme j'ai des problèmes tactiles, j'ai mis 2 bonnes heures à préparer les 30 module de la bête, plus au moins 3 heures pour le monter !

Bon, je fais des montages de temps en temps, et pour distraire aussi les enfants ... et les grands.

On trouve de tout sur le net, et je ne vais pas vous faire un cours sur l'origami. Mais je vais me contenter de vous raconter des anecdotes !

Comment fait-on pour plier "correctement" les bonnes longueurs, les bons angles ? Comment peut-on décortiquer un pliage pour retrouver les éléments géométrique permettant un calcul, une démonstration ?

Eh bien, pour commencer, voyons les angles de ce modèle !

A demain, bonsoir ... Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-01-2023 21:27:50)

Zebulor · 18-01-2023 21:41:26

Bonsoir Bernard,
de passage .. pas mal du tout ça servira pour Noel prochain ?
sur ce , bonne nuit ne nuit pas!

A plus tard

Bernard-maths · 19-01-2023 07:00:50

Bonjour à tous !

Alors le dodécaèdre, voir par ex : https://www.youtube.com/watch?v=DDAKKQecO6Y

Vidéo expliquant la construction, selon une mise au point dite pénultième, de Robert Neale, dans les années 1980 ... Mais ici l'objectif est de calculer les angles pliés des pentagones des faces !

Pour fabriquer cet objet, il faut plier 30 pièces identiques, qu'on assemble après par insertion entre-elles, formant auto blocage.
Chaque pièce est fabriquée à partir d'une feuille de papier carrée, qui va être pliée. Nous allons dessiner les plis et retrouver des figures géométriques simples, nous permettant de calculer l'angle cherché ...

Après avoir été pliée, la feuille est privée de son quart inférieur, les plis sont faits, et en dépliant on les voit en creux rouges et en relief verts. L'angle rouge alpha est l'angle de pliage ... Or l'angle attendu est de 108°, donc "bonne approximation". La différence de 0.5° ne se sent pas au montage !

D'où vient cette "erreur" ? Du triangle rectangle rouge dont un côté de l'angle droit est la moitié de l'autre côté, très facile à obtenir par pliage. Si on voulait ramener alpha à 108° exactement, il faudrait réduire le côté long de ... 2%, soit 3 mm sur les 160 du dessin, alors cool ! Mais faisable dans l'absolu.

Pour finir, un peu de vocabulaire ? Comme vous pourrez le voir, origami vient de oru kami, oru = plier et kami = papier, devenu origami ... sans e ! Origamie n'existe pas (encore...). Ne pas confondre aussi avec l'anglais game = jeu, et penser au jeu de pliage ... papier ou autre ...

Bernard-maths

PS : si vous avez des idées, n'hésitez pas !!!

Prochains thèmes possibles : partager/plier une feuille en 3 parts égales ; une feuille = un cube ; plier un triangle équilatéral (angle de 60°) ...

Dernière modification par Bernard-maths (19-01-2023 10:01:01)

Bernard-maths · 20-01-2023 22:37:09

Bonsoir à tous !

Alors, un petit défit, sans doute assez connu des origamistes, mais amusant et intéressant en classe pour motiver la réflexion en géométrie.

Il s'agit de partir d'une feuille rectangulaire de format A4 (ou A5 ... ) et de la plier pour en faire un triangle équilatéral, dont le côté la hauteur mesure la largeur de la feuille. Attention : on a droit à 4 plis !

Pour être précis : 1 pli de repérage, rouvert, et 3 plis "fermés" ...

Voilà, à plus !

Bernard-maths

PS : suite à une remarque de Roro, faite plus tard, il s'agit de la hauteur, et non du côté !

Dernière modification par Bernard-maths (26-01-2023 21:50:21)

Bernard-maths · 25-01-2023 20:25:55

Bonsoir à tous !

Je vais vous aider pour la réalisation. L'origami doit permettre de se débrouiller tout seul, juste avec des pliages ! Mais la connaissance des traits géométriques permet de comprendre ce qu'il faut plier ...

Alors, un triangle équilatéral avec une feuille rectangulaire (par ex A4).

Voici une feuille ABCD rectangulaire. On peut tracer la médiane (EF) dans la longueur, puis trouver le point G à l'intersection de [EF] avec l'arc de cercle de centre B et de rayon BC. Vous constatez alors que le triangle BCG est équilatéral. A partir de là, tout est permis pour arriver au pliage final ...

MAIS comment procéder par pliages uniquement ?

En rabattant le côté [AB] sur [DC], on obtient le pli [EF]. Pour repérer G, il n'est besoin de marquer le pli que dans la région de G, sur une petite longueur ... question de coup d'oeil !

Ensuite, c'est plus délicat et ça demande un peu d'adresse, on rabat C sur le bout de pli marqué [EF], tout en faisant un segment droit [BG] ... attention à bien faire droit de B à G, tout en ajustant le point C sur [EF], ce qui donne G ... qui est non marqué ! ET on plie selon (BI).

Une fois que vous avez marqué le pli (BI), vous avez le début d'un triangle équilatéral. Je vous laisse chercher la suite, encore deux plis à faire !

A plus pour la finale ... Dites moi ce que vous en pensez ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (25-01-2023 21:11:27)

Bernard-maths · 26-01-2023 20:30:44

Bonsoir à tous !

Allez, on continue ...

Vous remarquez que le pliage en haut en I donne 3 angles de 60° ... donc en pliant suivant la droite (IG), on va obtenir un symétrique de D en D' situé sur (BI), et le symétrique de A en A', un peu en dessous.

Alors, plions !

Vous voyez qu'il ne reste pas grand-chose à plier pour avoir le triangle équilatéral ... à vous de finir !

Conclusion : Je pense que cet exercice de pliage, agrémenté des explications géométrique, est un bon exercice ludique et instructif, pour des élèves de collège. A bon expérimentateur, salut !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (26-01-2023 21:47:14)

Roro · 26-01-2023 21:20:25

Bonsoir,

Jolie exercice avec des maths sympa pour le collège.
Par contre, est ce que la contrainte suivante a été respectée ?

Bernard-maths a écrit :

un triangle équilatéral, dont le côté mesure la largeur de la feuille

Roro.

Bernard-maths · 26-01-2023 21:45:00

Hello Roro !

Horreur, ça m'a complètement échappé !!!

Il s'agit au contraire de la HAUTEUR. QUE TOUT LE MONDE RECTIFIE !!!

Enoncé rectifié !

Merci Roro, et bonne nuit ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (26-01-2023 21:51:14)

Bernard-maths · 28-01-2023 09:24:39

Bonjour à tous ! Défi pour Roro !

Il y avait un lapsus calami dans le 1er énoncé du triangle équilatéral ... MAIS on peut faire un triangle équilatéral dont le CÔTé est égal à la LARGEUR de la feuille !!!

Une fois le point G marqué (et le pli [BI] non marqué, ou rouvert), comment finir le triangle équilatéral en 3 plis fermés ? (ou 2 ???)

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (28-01-2023 10:09:16)

Roro · 28-01-2023 16:09:00

Bonjour,

Une fois le point G marqué, il suffit de plier pour obtenir le triangle BCG.

Roro.

Bernard-maths · 28-01-2023 17:26:17

Bonjour !

Plier COMMENT ?

B-m

Roro · 28-01-2023 17:48:49

Bonsoir,

Bernard-maths a écrit :

Bonjour !
Plier COMMENT ?
B-m

Je vais essayer d'expliquer :
- Une fois le point C envoyé sur le point G comme l'a fait Bernard au début,
- on plie la feuille le long de (BG),
- on déplie tout et on refait la même chose de l'autre coté :
- on envoie B en G puis on plie la feuille le long de (CG).
- on déplie tout puis, tous les plis étant marqués, on pli à nouveau le long de (BG), puis (CG),
- et on peut ramener ce qui sort du triangle en pliant le long de (BG).

Ce n'est pas très clair à écrire, je ne suis pas encore près pour écrire un livre sur "l'origami sans figure" (et j'ai la flemme de faire des figures comme peut le faire de façon magnifique Bernard).

Et il y a surement des possibilités plus efficaces !

Roro.

Dernière modification par Roro (28-01-2023 17:50:57)

Bernard-maths · 29-01-2023 12:16:53

Bonjour à tous, et à Roro !

Explications correctes, bravo !!!

Voici en pliage une explication comme Roro :

On prend une feuille (A5 ici), on plie vers le point G, dans la longueur ...
On "plie" C sur G ... on marque avec l'ongle le point G, ici précisé au crayon pour la vue. On plie ensuite selon (CG).

Puis selon (BG) ... on replie par-dessus selon (CG) ... On rabat "derrière" le bout qui dépasse ...

Et voilà dessus et dessous le triangle équilatéral !

Bernard-maths, ex Roro selon Yoshi ...

Dernière modification par Bernard-maths (29-01-2023 13:43:31)

Bernard-maths · 29-01-2023 13:45:43

Prochain défi : le cube plié dans une feuille genre A4 :

cette idée m'est venue vers le tout début d'année (en fait mon 1er écrit date du 15-12-2022 !), alors j'ai pris une feuille A4 et j'ai dessiné un patron, et plié, arrangé, OK !

Puis j'ai recommencé avec la feuille seule et pas de crayon, uniquement par pliages et marquages (au pli ou à l'ongle) et OK !

Voilà mes 2 spécimens :

Je vous propose ici un patron commençant au bord de la feuille, position non précise, dimensions non précises ...

Je ne sais pas si ça existe (oui, probablement) sur internet, je n'ai pas encore cherché !

Voilà, bonnes cogitations ... pas facile !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (04-03-2023 12:07:54)

Bernard-maths · 02-02-2023 12:39:09

Bonjour à tous !

Je vais vous proposer un patron de pliages à réaliser :

Tous les plis rouges sont à faire dans le même sens ... pour commencer, tracez les traits au crayon, en vous référant aux graduations du bas et de gauche. Puis pliez !

A vous de trouver les 4 autres plis diagonaux, en sens contraire ...

Puis au fur et à mesure des pliages, vous verrez des petits plis complémentaires à faire, "pour que ça tombe bien" ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-02-2023 12:39:45)

Bernard-maths · 05-02-2023 09:45:02

Bonjour à tous !

Pour ceux qui n'nt pas trouvé les 4 plis diagonaux :

Roro · 05-02-2023 20:47:36

Bonsoir Bernard,

Pour moi, je me pose d'abord la question de comment tu as fait les premiers plis... sans utiliser les graduations (il n'y en a pas sur ma feuille blanche :-p), et sans règle graduée évidemment.

J'ai trouver ça : http://www.i2m.univ-amu.fr/perso/lionel … Pliage.pdf
qui permet de montrer comment plier en trois... ensuite on doit pouvoir continuer comme tu vas le faire.

Mais le patron prendra toute la largeur de la feuille, et donc peut être pas facile à assembler à la fin. Sauf si dès le début on fait des "réserves" sur les cotés.

Roro.

Bernard-maths · 05-02-2023 21:18:23

Bonsoir Roro !

Oui ! J'y vais doucement, pour ceux qui veulent essayer.

J'ai pris des photos des pliages, et je vais les montre bientôt.

Ensuite je montrerai comment se lancer SANS tracé(s) ! Comme tu le dis, il faut prevoir "des réserves" ! En fait, ça se fait un peu au pif ...

Les réserves sont utiles pour donner un peu de rigidité aux bons endroits ...

Ne pas hésiter à rajouter des petits plis utiles ou pratiques, en cours de pliage, du moment qu'on ne coupe rien !

Bonne suite, à plus ...

Bernard-maths

PS : merci pour le site, j'en ai déjà vus ...

Dernière modification par Bernard-maths (05-02-2023 21:20:20)

Bernard-maths · 06-02-2023 17:20:53

Bonjour à tous !

Hier Roro m'a proposé un site montrant comment diviser une feuille en 3 parts égales.

Après y avoir jeté un coup d'oeil, je me rends compte que c'est une méthode que j'avais trouvée : en fait, utiliser le centre de gravité d'un triangle, par "traçage" de 2 médianes !

La 1ère méthode utilisée , en traçant des diagonales de rectangles, revient à tracer 2 médianes dans chacun des 4 triangles rectangles de la feuille ...

Bonne méthode à connaître !

Bernard-maths

Bernard-maths · 06-02-2023 18:05:47

Bonjour à tous !

Cela fait 2 fois (au moins) que je rencontre des techniques de pliages pour résoudre des équations, ou réaliser des constructions ...

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~de … Justin.pdf

https://images.math.cnrs.fr/Les-courbes-en-creneaux

https://images.math.cnrs.fr/Des-equations-geometriques

... pour vous distraire ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (14-02-2023 18:29:22)

Bernard-maths · 03-03-2023 15:20:30

Bonjour à tous !

Je continue le cube en feuille A4, avec un patron complet !

On voit en plus les 2 petits traits rouges obliques ... qui se superposent aux traits verts, lorsque les deux bords sont repliés. Après il suffit de plier le cube, et de mettre le rabat du couvercle dans la partie creuse ... adéquate !

Remarque : pour avoir un cube assez rigide, je conseille d'utiliser du papier 160g, ou 120g. 80g pour s'entrainer ...

Voilà avec le patron !

Il reste à expliquer comment faire les plis, sans patron, au pif quoi ! Dans la suite !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (04-03-2023 12:08:55)

Bernard-maths · 04-03-2023 12:12:15

Bonjour à tous !

Voici des explications "origamiques" ...

En reprenant le patron précédent, on voit que les 3 bandes font 6 cm de larges, et les 2 bords 1,5 cm. À adapter si la feuille n’est pas exactement à 21 cm …
Ce patron est adaptable pour des largeurs de bandes allant de (longueur feuille/5) à (largeur feuille/3).
Donc pratiquement de 6 cm à 7 cm. Sinon il faudra adapter les pliages …
Les plis rouges sont « en vallée = en creux » et les verts « en montagne = saillants ».

Il est également possible de réaliser un parallélépipède rectangle à la place du cube, à condition de bien étudier sa disposition, et ses dimensions !

Quelques vues de la réalisation en fin ...

Pour le couvercle, ne pas hésiter à marquer les 2 plis !

Il est à noter qu'il y a plusieurs façons de réaliser le pliage, avec par exemple les bords non rabattus, mais inclinés à 90° ...

J'ai beau chercher sur internet, sans doute mal (?), mais je n'ai pas trouvé ce montage. SI quelqu'un en trouve un, qu'il me le dise ! Merci d'avance.

Sauf erreur ... Bernard-maths

Prenez une feuille A4, et dites moi comment ça va !

Dernière modification par Bernard-maths (04-03-2023 18:19:45)

Bernard-maths · 04-03-2023 13:43:30

Bonsoir à tous !

Relancé dans les cubes ... en voici un en 4 couleurs. Un peu épais, à revoir ...

Bernard-maths

Bernard-maths · 02-06-2023 08:28:45

Bonjour à tous !

L’objet de cet article est de proposer un module d’origami modulaire permettant de construire des triangles équilatéraux pleins, qui, par assemblage, permettent de construire des polyèdres composés de triangles équilatéraux.

Ainsi que des techniques de découpage, pliages et mises en forme …

Pourquoi ?
Mes recherches sur internet ne m’ont pas donné de méthode pour réaliser de façon modulaire un tétraèdre, ou octaèdre, ou icosaèdre, qui se tient bien … (sauf erreur de ma part …)

Si quelqu'un trouve la même chose, ce serait bien qu'il le signale, qu'on puisse rétablir la chronologie des "inventions", surtout si ça vaut des millions ... merci !

ENTRE TEMPS J'AI TROUVé !!! https://www.youtube.com/watch?v=H7qE_Tc8e4g
Et aussi : https://youtu.be/ZSbCCtZITLk

Alors ?
Je suis parti d’un module général pour le dodécaèdre pénultième, qui peut se modifier pour changer les angles d’assemblage …

et j’ai fini par avoir un tétraèdre légèrement ajouré sur les faces, ou très ajouré, ET nécessitant qu’on le maintienne avec … des trombones ! Origami modulaire à trombones !!!

Alors j’ai cherché un module qui se coince tout seul en se croisant avec 2 autres, au centre du triangle !

Le module de base :

On part d’une bande rectangulaire, composée de 2 carrés aux 2 bouts BCEF et DAGH, et de 2 triangles équilatéraux au centre OEF et OGH. Si on appelle l la largeur de la feuille au départ, la largeur apparente est de moitié, après pliage en deux ; ici de 21 cm de long, largeur d’une feuille A4. La largeur apparente est de 5,6 cm, mais obtenue après pliage en 2, donc de 11,2 cm …
La longueur L de la feuille est de 2 fois l/2 pour les carrés, plus 2 fois l/2* √3/2 = l (1 + √3/2) ; soit L ≈ 1,866 l ! Si on se donne L, alors l ≈ 0,536 L. Par exemple pour L = 29,7 cm, on aura l ≈ 15,9 cm. Le tout à 1 mm près ≈ 0,5 %

Mes modèles ont eux été dessinés avec une longueur de 29,7 cm. https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 20#p105020

Pliage, le début : … ne pas oublier de marquer les plis (avec un ongle, ou objet permettant d’appuyer …)
Pour un triangle il faut 3 modules. J’ai découpé à 15,8 cm de large 3 feuilles A4 en 3 couleurs, de longueur 29,8 cm, de 120 g.
Ensuite on les plie en longueur à la moitié, puis encore chaque moitié sur le pli du milieu : on a le rectangle de « base ». On retourne la feuille, plis en dessous … côté « lisse ».

En pliant en diagonale (CB) sur (CD), on marque le point E (avec l’ongle de l’index, je fais une marque au ras de (BE)). On peut alors plier selon (EF) pour avoir le carré BCEF.
On fait pivoter la feuille de 180°, et on recommence à plier (AD) sur (AB), on marque le point G, et on plie selon (GH), on a le carré DAGH. Il reste à plier selon la diagonale (GE).

Pliage, les bouts :
C’est le point délicat de la fabrication : des plis en travers !

Vous avez ci-dessus 3 modules emboîtés en triangle, et le détail de l’accrochage …

Pour faire les plis, on va (idéalement) tracer(EK) symétrique de (EG) par rapport à (EF), qui coupe la ligne centrale en K. Puis par K tracer la perpendiculaire à (EK), qui coupe en bas en J.
Pour faire cela par pliage, suivons les étapes suivantes :

Photo 1 : on a replié le carré vers le centre, et on marque le pli de la diagonale, pas trop fort …
Photos 2, 3 et 4 : on déplie, et on retourne le pli. On vérifie en repliant le carré !

Photos 5 et 6 : on plie perpendiculairement au niveau du point O. On déplie le carré, on retourne le pli.
Photos 7 et 8 : idéalement les 2 plis donnent un triangle rectangle (en K). On déplie la « grande » languette obtenue.

Pour faire un triangle, on utilise 3 modules, oui mais qui dépassent largement ... en fait il faut compter 1.5 module pare triangle !

Pour un tétraèdre, il faut 1.5 * 4 = 6 modules, au boulot ! Comptez ... 1 heure, pour commencer ?

Pour un octaèdre il faudra 1.5 * 8 = 12 modules ; et pour l'icosaèdre 1.5 * 20 = 30 modules.

La suite plus tard ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (07-06-2023 19:43:18)

Bernard-maths · 03-06-2023 20:05:29

Bonsoir !

J'avais écrit ce matin, mais oublié de valider ! Alors je recommence ...

L'assemblage est délicat, je n'ai pas trouvé de méthode, j'ai mis 5 heures pour assembler l'icosaèdre !!!

Je crois qu'il faut penser que pour le tétraèdre, autour de chaque sommet il y a 3 triangles ; pour l'octaèdre, il y en a 4 ; et pour l'icosaèdre, il y en 5 ! Une fois cet assemblage réalisé, il faut rajouter les autres modules "par symétrie rotative" pour obtenir les autres triangles !

Parfois les trombones sont d'un premier secours pour tenir les nouveaux modules en position, on peut les retirer à la fin.

Voilà, j'attend vos commentaires ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-06-2023 20:06:47)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 18-01-2023 21:18:19

Origamis et calculs associés & cie

#2 18-01-2023 21:41:26

Re : Origamis et calculs associés & cie

#3 19-01-2023 07:00:50

Re : Origamis et calculs associés & cie

#4 20-01-2023 22:37:09

Re : Origamis et calculs associés & cie

#5 25-01-2023 20:25:55

Re : Origamis et calculs associés & cie

#6 26-01-2023 20:30:44

Re : Origamis et calculs associés & cie

#7 26-01-2023 21:20:25

Re : Origamis et calculs associés & cie

#8 26-01-2023 21:45:00

Re : Origamis et calculs associés & cie

#9 28-01-2023 09:24:39

Re : Origamis et calculs associés & cie

#10 28-01-2023 16:09:00

Re : Origamis et calculs associés & cie

#11 28-01-2023 17:26:17

Re : Origamis et calculs associés & cie

#12 28-01-2023 17:48:49

Re : Origamis et calculs associés & cie

#13 29-01-2023 12:16:53

Re : Origamis et calculs associés & cie

#14 29-01-2023 13:45:43

Re : Origamis et calculs associés & cie

#15 02-02-2023 12:39:09

Re : Origamis et calculs associés & cie

#16 05-02-2023 09:45:02

Re : Origamis et calculs associés & cie

#17 05-02-2023 20:47:36

Re : Origamis et calculs associés & cie

#18 05-02-2023 21:18:23

Re : Origamis et calculs associés & cie

#19 06-02-2023 17:20:53

Re : Origamis et calculs associés & cie

#20 06-02-2023 18:05:47

Re : Origamis et calculs associés & cie

#21 03-03-2023 15:20:30

Re : Origamis et calculs associés & cie

#22 04-03-2023 12:12:15

Re : Origamis et calculs associés & cie

#23 04-03-2023 13:43:30

Re : Origamis et calculs associés & cie

#24 02-06-2023 08:28:45

Re : Origamis et calculs associés & cie

#25 03-06-2023 20:05:29

Re : Origamis et calculs associés & cie

Réponse rapide

Pied de page des forums