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Vincent62

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Addition dans un espace affine

Bonjour,

Je lis que l'ensemble des [tex](x,y)\mathbb{R}^2[/tex] tels que [tex](x,y)=(x,1)[/tex] est  un espace de direction [tex]\mathbb{R}[/tex]. On note E cet ensemble.
Dans la définition d'un espace affine, on a donc que la direction de [tex]E[/tex] est donnée par [tex]\mathbb{R}[/tex]. Mais toujours dans la définition d'un espace affine, que signifie dans ce cas que [tex]\forall A\in E, A+0=A[/tex] où [tex]0[/tex] est le neutre de la direction [tex]\mathbb{R}[/tex] ?
Est-ce que cela signifie que pour tout [tex](x,1)[/tex] avec [tex]x\in\mathbb{R}[/tex], on a [tex](x,1)+0_{\mathbb{R}}=(x,1)[/tex] ?
Ce qui me gêne, c'est la façon dont on définit cette addition dans ce cas précis ?

J'avai spensé à considérer [tex](0,0)[/tex] au lieu de [tex]0[/tex], mais du coup, ce serait un élément de [tex]\mathbb{R}^2[/tex], et non de [tex]\mathbb{R}[/tex].

Bon, voilà, merci pour vos éclaircissements sur cette notion que je découvre.

Fred

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Re : Addition dans un espace affine

Bonjour,

  Moi je dirais plutôt que la direction de cet espace affine est $\mathbb R\times\{0\}$, ce qui devrait moins te gêner pour définir l'addition...

F.

Vincent62

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Re : Addition dans un espace affine

Ah bah voilà, c'est ce j'ai écrit par la suite aussi, merci !
Par contre, un truc me chiffone : [tex]E[/tex] n'est pas un espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ !

Dernière modification par Vincent62 (16-01-2023 03:15:56)

Eust_4che

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Re : Addition dans un espace affine

Bonjour à tous,

Plus généralement, un espace affine $A$ sur $\mathbb{R}$ est un ensemble sur lequel agit fidèlement et transitivement le groupe additif d'un espace vectoriel réel $E$ qu'on appelle espace de direction (on peut alors vérifier qu'on retrouve les propriétés ennoncés d'existence et d'unicité d'un translaté).

Dans ce contexte, plutôt que d'employer la notation multiplicative $g.x$ pour désigner le transformé de $x \in A$ par $g \in E$, on utilise la notation additive $x + g$, mais il ne s'agit pas d'une addition entre deux éléments de $A$.

Dans le cas présenté, la loi d'action est l'application $f \colon \mathbb{R} \times A \longrightarrow A$, $(x, u) \longmapsto (x + u_1, u_2)$. On peut vérifier sans trop de difficultés qu'on a bien un espace affine dont la direction est $\mathbb{R}$. P

Pour bien faire la distinction avec une autre loi d'action, on va noter multiplicativement l'image du couple $(x, u)$ par $f$. Comme le fait remarquer Fred, pour tout $x \in \mathbb{R}, u \in A$,

$$ x . u = (u_1, u_2) + (x, 0)$$

où l'addition désigne ici l'addition usuelle de $\mathbb{R}^2$ (d'où l'importance de bien distinguer les opérations). Cela suggère la possibilité de définir une action de l'espace vectoriel $D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 0 \}$ (qui est donc $\mathbb{R} \times \{ 0 \}$ muni des lois internes et externes usuelles) sur $A$ grâce à la loi d'action $D \times A \longrightarrow A$, $(v, u) \longmapsto u + v$.

En fait, comme l'application $\imath \colon x \longmapsto (x, 0)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels tels que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $u \in A$, on ait $x . u = u + \imath(x)$, on se trouve finalement avec les mêmes translations. La seule différence est que, l'ensemble $A$, muni de l'action de $D$ sur $A$, est un sous-espace affine de l'espace affine $\mathbb{R}^2$, car $D$ est un sous-espace vectoriel $\mathbb{R}^2$. Par contre, $A$, muni de l'action de $\mathbb{R}$ sur $A$, n'est pas un sous-espace affine de $\mathbb{R}^2$.

E.

Dernière modification par Eust_4che (16-01-2023 06:05:40)

Vincent62

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Re : Addition dans un espace affine

Merci Eust_4che, c'est très clair :)