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Vincent62

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Sommation depuis 0 ou 1

Bonjour,

Je vois dans certains cours que la fonction [tex]P[/tex] définie par [tex]P(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/tex] est dérivable sur [tex]\mathbb{C}[/tex] et de dérivée [tex]P'(z)=\sum_{n=0}^{\infty} na_nz^{n-1}[/tex], et parfois, on écrit que [tex]P'(z)=\sum_{n=1}^{\infty} na_nz^{n-1}[/tex].

Ainsi, parfois la sommation sur la fonction dérivée commence à [tex]0[/tex], et parfois à [tex]1[/tex].
Bon, je vois clairement que les deux sommes sont égales, mais y a-t-il une raison de commencer cette somme à [tex]0[/tex] plutôt qu'à [tex]1[/tex] ?

Merci !

Zebulor

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Re : Sommation depuis 0 ou 1

Bonjour,
j'y vois une raison pratique quand il s'agit de faire des regroupements de coefficients $a_n$ et $b_n$ dans des équations du style :
$\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n + \sum_{n=0}^{\infty}b_n z^n=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n) z^n$
de sorte qu'on est sur de sommer des coefficients de même rang.

Je pense à ce genre d'exercice :

https://www.bibmath.net/ressources/just … hp?id=1863

où tu peux remarquer dans l'équation différentielle du second ordre que toutes les sommes sont du type $\sum_{n=0}^{\infty}...$, après que l'écriture de $f''(x)$ a été modifiée.

Tu peux y voir qu'à n=0 tous les coefficients multiplicateurs sont ceux de $x^0$.. idem pour n=1, 2 .... si bien qu'on peut établir une égalité générale entre les coefficients.

C'est une question de lisibilité, purement formelle. On pourrait très bien écrire cette équa diff avec des sommes $\sum_{n=2}^{\infty}$ mais il faudrait alors réécrire certains coefficients pour rééquilibrer l'effet produit par le décalage des indices.
Par exemple dans cet exercice tu aurais alors $xf'(x)=\sum_{n=2}^{\infty}(n-2)a_{n-2}x^{n-2}$

Autre cas : $\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+2}+\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^{n}=0$
le premier terme de la première somme commence à $x^2$, et celui de la seconde somme $x^0$ il y adonc un décalage que tu peux rétablir et écrivant que c'est équivalent à $\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+2}+\sum_{n=0}^{\infty}b_{n+2} x^{n+2}+b_0 x^0+b_1 x^1=0$. De là une égalité entre les coefficients..

Dernière modification par Zebulor (15-01-2023 12:33:57)

Vincent62

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Re : Sommation depuis 0 ou 1

Merci Zebulor, c'est très clair :)