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Roro1

Invité

Une inégalité

Bonjour.
Soit $p(u,x)=(4 \pi u)^{-q/2}e^{-\frac{|x|^2}{4u}}, x \in \mathbb{R}^q,u>0.$
1. Prouver que pour tout $r \geq 0,c>1,$ il existe $C>0$ tel que $$\forall x \in \mathbb{R}^q,u>0,\frac{|x|^{2r}}{u^r}p(u,x) \leq C p(uc,x).$$
2. Déduire que pour tout $n_1,...,n_q,k \in \mathbb{N},c>1,$ il existe $C'>0$ tel que $$\forall u>0,x \in \mathbb{R}^q,|\frac{\partial^{n_1+...+n_q+k}p}{\partial x^{n_1}_1...\partial x^{n_q}_q \partial u^k}(u,x) |\leq C' u^{-\frac{n_1+...+n_q}{2}-k}p(cu,x).$$
Pour 1. si r>0, alors il faut $\frac{|x|^2}{u} \leq \frac{C^{1/r}}{c^{\frac{q}{2r}}}e^{\frac{|x|^2}{4ur}(1-\frac{1}{c})},$ $(e^y \geq y)$ alors on peut prendre $C=\frac{c^{q/2}4^r (r+1)^r}{(1-\frac{1}{c})^r}$ (qui est vrai pour $r=0$.)
Comment déduire 2. de cela? Est-il possible de prouver l'inégalité par récurrence? Si oui, par rapport à quelle variable? Et comment?
Merci.