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Vincent62

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Orbite impossible

Bonsoir,

Le but d'un exercice est de montrer que tout groupe d'ordre [tex]36[/tex] admet un sous-groupe d'ordre [tex]9[/tex].
Pour cela, on considère l'ensemble [tex]X=\{A\subset G, |A|=9\}[/tex], et pour tout [tex]A\in X[/tex] et tout [tex]g\in G[/tex], on pose [tex]g.A=\{ga, a\in A\}[/tex].

J'ai démontré que [tex]3[/tex] ne divisait pas [tex]|X|[/tex], puis que [tex]g.A\in X[/tex] pour tout [tex]g\in G[/tex] et tout [tex]A\in X[/tex], que pour cette action, il existe une orbite [tex]A_0[/tex], notée [tex]G(A_0)[/tex] dont le cardinal n'est pas divisible par [tex]3[/tex], et que le stabilisateur [tex]G_{A_0}[/tex] a un cardinal égal à [tex]9[/tex] ou [tex]36[/tex].

Bon, maintenant, j'essaye de voir pourquoi le cas [tex]|G_{A_0}|=36[/tex] est impossible.
Si c'est le cas, alors c'est que [tex]|G(A_0)|=1[/tex], car [tex]|G|=|G_{A_0}|.|G(A_0)|[/tex].
Il n'y a donc qu'un élément dans l'orbite de [tex]A_0[/tex].
Je ne vois pas où est la contradiction pour l'instant (j'ai essayé de raisonner sur le fait que les orbites forment une partition de l'ensemble [tex]X[/tex], ou encore de réutiliser la formule des classes, sans succès).

Pouvez-vous me donner un coup de pouce ?

Dernière modification par Vincent62 (22-12-2022 23:39:42)

bridgslam

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Re : Orbite impossible

Bonjour,

L'orbite singleton est stable sous l'action de G, donc d'elle-même, finie, elle constitue un groupe ( à 9 éléments ).

A.

Vincent62

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Re : Orbite impossible

Bonjour bridgslam,

Je vois, merci !
Puisque dans ce cas [tex]G_{A_0}=G[/tex], alors [tex]|G_{A_0}|=9[/tex], d'où la contradiction, puisque [tex]|G_{A_0}|=1[/tex] par hypothèse.

Merci

Dernière modification par Vincent62 (25-12-2022 12:38:00)

bridgslam

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Re : Orbite impossible

Bonjour,

Non ce n'est pas ça.
Dans le cas où une orbite contient un seul élément A, comme gA = A pour tout g, A est stable, finie à 9 éléments, donc c'est un sous-groupe de G, qui convient.

A.

Vincent62

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Re : Orbite impossible

Bonsoir,

Bon le post est un peu vieux, désolé, mais je n'arrive plus à me convaincre de la chose suivante : si [tex]|G_{A_0}|=36[/tex], alors c'est que forcément [tex]g.A_0=A_0.[/tex]

Pourquoi ? Je ne vois pas. Meric beaucoup.

Vincent62

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Re : Orbite impossible

Pardon j'ai confondu orbite et stabilisateur !!
Ne pas tenir compte de ce fil donc, désolé.