Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bivalve

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Structures algébrique : p-groupes

Bonjour,
Je rencontre actuellement quelques difficultés concernant l'exercice 14 des " Groupes : compléments "
( https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo )

J'ai du mal à comprendre la correction du 2). Est-ce que quelqu'un peut me réexpliquer svp ?
Je vous remercie d'avance de vos réponses !

Glozi

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Re : Structures algébrique : p-groupes

Bonjour,

Posons $H(k)$ la proposition : pour tout $p$-groupe $G$ d'ordre au moins $p^k$, alors $G$ admet des sous groupes distingués d'ordre $p^0,p^1$ jusqu'à $p^k$.

C'est notre hypothèse de récurrence, elle est facilement vérifiée pour $k=0$ (trivial) et $k=1$ (par la question 1).

Supposons $H(k)$ et montrons $H(k+1)$.
On se donne un $p$-groupe $G$ d'ordre au moins $p^{k+1}$ tout a fait quelconque. Puisque $H(k)$ est vérifiée, il suffit de trouver un sous groupe distingué de $G$ d'ordre $p^{k+1}$.
Le point de départ c'est de dire qu'on a $K$ un sous groupe distingué de $G$ d'ordre exactement $p$ (par la question 1 ou alors par l'hypothèse de récurrence si on suppose $k\geq 1$).

On regarde alors le groupe quotient $G/K$, il s'agit d'un $p$ groupe d'ordre au moins $p^k$ (car $K$ est d'ordre $p$, et $G$ d'ordre au moins $p^{k+1}$). Par l'hypothèse de récurrence au rang $k$ (appliquée à $G/K$) tu peux trouver $A$ un sous groupe distingué de $G/K$ d'ordre exactement $p^k$.

Mais alors, par le théorème de correspondance des sous groupes, ce $A$ est en fait l'image par la projection canonique $\phi: G \to G/K$ d'un certain sous groupe de $G$ contenant $K$. Ce que dit la correction c'est que si on regarde $H:=\phi^{-1}(A)$ alors $H$ est un sous groupe de $G$ contenant $K$ et tel que $H/K \cong A$.

Il reste à montrer que $H$ est distingué (immédiat car $A$ est distingué et $H$ est l'image réciproque de $A$ par un morphisme de groupes) et aussi que $H$ est d'ordre $p^{k+1}$ (ce qui est immédiat car $H/K \cong A$).

Finalement on a prouvé $H(k+1)$ à partir de $H(k)$.

Le point à comprendre dans la preuve c'est que l'hypothèse de récurrence porte simultanément sur tous les $p$-groupes d'ordre $p^k$ (ou d'ordre supérieur à $p^k$) sinon on ne s'en sort pas.

J'espère que c'est plus clair ?

Bonne journée

Bivalve

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Re : Structures algébrique : p-groupes

Merci infiniment pour votre retour, je pense que j'ai bien tout compris ! Juste une dernière question, cet exercice est généralement destiné en quelle année de licence ?

Glozi

Invité

Re : Structures algébrique : p-groupes

Je ne suis pas sûr... j'avais vu ce genre de choses dans un cours de L3 mais j'imagine que ça peut dépendre.
Bonne soirée

Bivalve

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Re : Structures algébrique : p-groupes

Merci pour votre réponse. Bonne soirée à vous aussi.