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Vincent62

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matrice non diagonalisable et recherche de base

Bonjour,

Je me noye dans l'exercice suivant.

On considère la matrice [tex]A[/tex] associée à l'endormorphisme [tex]f[/tex], et donnée par :
[tex]A=
   \begin{pmatrix}
         1&0&1 \\
         2&-1&0 \\
         1&-1&\frac{1}{2}
   \end{pmatrix} [/tex]

Les valeurs propres sont [tex]1[/tex] avec un ordre de multiplicité de [tex]2[/tex] et [tex]-\frac{3}{2}[/tex] d'ordre de multiplicité [tex]1[/tex].
On a montré que la matrice [tex]A[/tex] n'est pas diagonalisable.
On a montré que les vecteurs de [tex]ker(f-id)[/tex] vérifient [tex]z=0[/tex] et [tex]x=y[/tex], et que le vecteur [tex]v_1=(1,1,0)[/tex] en est une base.
On a montré que les vecteurs de [tex]ker(f-if)^2[/tex] vérifient [tex]z=2x-2y[/tex] et que les vecteurs [tex]v_1[/tex] et [tex]v_2=(1,0,2)[/tex] en forment une base.

On cherche maintenant à déterminer une base [tex](f_1,f_2,f_3)[/tex] de vecteurs de l'espace telle que la matrice de [tex]f[/tex] dans cette base soit donnée par la matrice [tex]B=
   \begin{pmatrix}
         1&1&0 \\
         0&1&0 \\
         0&0&-\frac{3}{2}
   \end{pmatrix} [/tex]

En particulier, il faut que [tex]f(f_1)=f_1[/tex], et donc que [tex](f-id)(f_1)=0[/tex], autrement dit que [tex]f_1 \in ker(f-id)[/tex]. On peut donc choisir [tex]f_1=v_1[/tex].
Puis, il faut que [tex]f(f_2)=f_1+f_2[/tex], autrement dit que [tex](f-id)(f_2)=f_1[/tex], et donc que [tex]f_2\notin ker(f-id)[/tex].

Pour déterminer f_2, je pose [tex]f_2=(x,y,z)[/tex] et je résous [tex](f-id)(f_2)=(1,1,0)[/tex].
Je trouve alors que [tex]x,y[/tex] et [tex]z[/tex] vérifient z=1 et [tex]x-y=\frac{1}{2}[/tex].
Je peux alors choisir le vecteur [tex]f_2=(\frac{1}{2},0,1)[/tex].

Est-ce correct ?

Merci beaucoup !

Dernière modification par Vincent62 (10-01-2023 07:49:04)

Michel Coste

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Re : matrice non diagonalisable et recherche de base

Bonjour,
Tu peux vérifier toi-même : est ce que [tex]A\begin{pmatrix}1/2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1/2\\0\\1\end{pmatrix}[/tex] ?

Dernière modification par Michel Coste (10-01-2023 11:37:44)

Vincent62

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Re : matrice non diagonalisable et recherche de base

Merci Michel,

Je vérifie.
Effectivement, ça marche.

Pour terminer, puisque [tex]f(f_3)=-\frac{2}{3}f_3[/tex], alors [tex](f+\frac{3}{2}id)(f_3)=0[/tex], autrement dit [tex]f_3\in ker(f+\frac{3}{2})[/tex].
On choisit donc [tex]f_3=(-2;8;5)[/tex].

Par ailleurs, concernant [tex]f_2=(\frac{1}{2},0,1)[/tex], on vérifie que puisque [tex]z\neq 0[/tex], alors [tex]f_2\notin ker(f-id)[/tex].

Dernière modification par Vincent62 (10-01-2023 11:53:40)