Méthode pour trouver la dérivée d'un fonction

Fandresena · 09-01-2023 15:34:20

Bonjour,
Est ce que quelqu'un ici connait le nom de cette méthode pour trouver la dérivée d'une fonction ?

Soit y=x²
Mon prof a procédé ainsi:
x-->x + dx
y--->y+dy
=> y + dy = ( x + dx )²
=x²+2xdx+dx²
y+dy≈x²+2xdx

Par hypothèse y=x²
dy≈2xdx
dy/dx=2x

Merci

Dernière modification par Fandresena (09-01-2023 15:42:49)

Michel Coste · 09-01-2023 16:03:23

Bonjour,
Ça consiste à travailler avec un infinitésimal de carré nul. Ça va bien pour des polynômes ou des fractions rationnelles.
Exo : calculer comme ça la dérivée de [tex]x\mapsto\dfrac1x[/tex].

Dernière modification par Michel Coste (09-01-2023 16:04:07)

Roro · 09-01-2023 16:06:42

Bonjour,

C'est un prof de physique qui a écrit ça ???

Parce qu'en maths, écrire "x-->x+dx" n'a pas trop de sens, enfin il faudrait dire ce qu'est dx...

Pareil pour le symbole ≈ qui n'a rien de mathématiques...

En tout cas, la méthode qu'il a voulu utiliser n'est rien d'autre que la définition de la dérivée à l'aide du taux d'accroissement :

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Si tu appliques cette définition avec la fonction $f:x\in \mathbb R \longmapsto x^2 \in \mathbb R$ alors tu auras

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h} = 2x.$$

Roro.

Black Jack · 09-01-2023 19:40:06

Bonjour,

Oui, c'est une méthode souvent qualifiée "à la Physicienne"
... qui a été validée par une théorie mathématique rigoureuse dans les années 60 (Analyse non standard)

On y définit rigoureusement (entre autres) les notions "d'infiniment petits" et les règles de leur utilisation dans les calculs.

Parfois, on utilise cette méthode mais en ne respectant pas tout à fait toutes les contraintes inhérentes à la théorie ... et cela c'est dommage.

Dernière modification par Black Jack (09-01-2023 19:42:33)

Michel Coste · 09-01-2023 19:48:39

En fait, pas besoin d'analyse non standard ici. C'est juste un calcul algébrique dans l'algèbre des nombres duaux : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_dual

Black Jack · 10-01-2023 09:10:54

Michel Coste a écrit :

En fait, pas besoin d'analyse non standard ici. C'est juste un calcul algébrique dans l'algèbre des nombres duaux : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_dual

Bonjour,

Bien sûr, on peut se passer de l'ANS ... mais on peut aussi l'utiliser.

https://www.tangente-mag.com/article.php?id=4037

Michel Coste · 10-01-2023 11:20:03

Le calcul avec les nombres duaux ne nécessite pas tout l'attirail de l'analyse non standard. Les nombres duaux ont été introduits il y a bien plus longtemps. Ce sont les nombres de la forme [tex]a+\epsilon b[/tex] où [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] sont réels et [tex]\epsilon^2=0[/tex]. C'est donc bien différent de l'analyse non standard où les infinitésimaux ne sont pas de carré nul.
Pour l'exercice que je proposais et pour [tex]x\neq0[/tex] :
[tex]\dfrac1{x+\epsilon}=\dfrac{x-\epsilon}{(x+\epsilon)(x-\epsilon)}=\dfrac{x-\epsilon}{x^2}=\dfrac1x +\epsilon\left(\dfrac{-1}{x^2}\right)[/tex]
Les égalités ici sont de vraies égalités.

Dernière modification par Michel Coste (10-01-2023 11:20:57)

bridgslam · 10-01-2023 11:25:28

Bonjour,

La démarche me semble analogue à la construction de $\mathbb{C}$ en considérant le quotient de $\mathbb{R}[X)$ par $(X² + 1)$

A.

Dernière modification par bridgslam (10-01-2023 11:27:10)

Michel Coste · 10-01-2023 11:41:21

Oui, l'algèbre des nombres duaux [tex]\mathbb R[\epsilon][/tex] est le quotient [tex]\mathbb R[X]/(X^2)[/tex] ([tex]\epsilon[/tex] l'image de [tex]X[/tex] dans le quotient).
On peut aussi la voir comme l'algèbre des matrices de la forme [tex]\begin{pmatrix} a&b\\0&a\end{pmatrix}[/tex].

Dernière modification par Michel Coste (10-01-2023 11:43:51)

Black Jack · 10-01-2023 16:52:41

Michel Coste a écrit :

Le calcul avec les nombres duaux ne nécessite pas tout l'attirail de l'analyse non standard. Les nombres duaux ont été introduits il y a bien plus longtemps. Ce sont les nombres de la forme [tex]a+\epsilon b[/tex] où [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] sont réels et [tex]\epsilon^2=0[/tex]. C'est donc bien différent de l'analyse non standard où les infinitésimaux ne sont pas de carré nul.
Pour l'exercice que je proposais et pour [tex]x\neq0[/tex] :
[tex]\dfrac1{x+\epsilon}=\dfrac{x-\epsilon}{(x+\epsilon)(x-\epsilon)}=\dfrac{x-\epsilon}{x^2}=\dfrac1x +\epsilon\left(\dfrac{-1}{x^2}\right)[/tex]
Les égalités ici sont de vraies égalités.

"Le calcul avec les nombres duaux ne nécessite pas tout l'attirail de l'analyse non standard"

Cela n'implique pas qu'on ne peut pas traiter le sujet par l'ANS ... où il n'est plus question d'utiliser non plus les limites , mais bien les notions d'infiniment petits (qu'on les note [tex]\epsilon[/tex] ou dx ou dy ne change rien)

Ce problème de la dérivée du post initial est d'ailleurs résolu dans le lien que j'ai donné. (par l'ANS) qui ressemble étrangement au procédé utilisé dans l'énoncé.

Cette remarque n'a pour but que de dire que la manière de traiter la dérivée comme dans le message initial n'a rien de "non mathématique", même si l'une ou l'autre notation utilisée est un peu "discutable".

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