Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Pi2sur6

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Messages : 1

Série 1/n^(2+sin n)

Bonjour,
Cette série  semble diverger (lentement).
A defautde preuve, quel serait un bon ressenti mathématique?
Merci.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Série 1/n^(2+sin n)

Bonsoir,

  Je crois que c'est un problème très difficile.
Une réponse avait été donnée il y a quelques années par Pierre Lavaurs. Voici un lien vers ce document.

F.

Glozi

Invité

Re : Série 1/n^(2+sin n)

Bonjour,
Tu parles de la série $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{2+\sin(n)}}$
Ça me rappelle le sujet du concours SMF junior https://smf.emath.fr/sites/default/file … inal_0.pdf (sujet 2 question 2 appliquée à $f(x)=1+\sin(x)$). Cela signifie surement qu'il y a uné réponse à ta question.

Si on conjecture que la série diverge (je n'en suis pas sûr et je n'ai pas de preuve) alors je pense qu'une manière de le montrer serait de choisir une bonne extraction $\varphi(n)$ de sorte que $2+\sin(\varphi(n))$ soit assez proche de $1$ sans que $\varphi(n)$ ne soit trop grand (pour le moment je ne vois pas très bien comment formuler cela quantitativement). Puis dire que $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{2+\sin(n)}} \geq \sum_{n\geq 1}\frac{1}{\varphi(n)^{2+\sin(\varphi(n))}}$ et essayer d'avoir un terme de droite arbitrairement grand (quitte à faire bouger un peu $\varphi$)...

Grosso modo si la série diverge cela signifie que $\sin(n)$ se rapproche arbitrairement proche de $-1$ suffisamment fréquemment pour avoir dans ta somme plein de termes en $1/n^{(1+\varepsilon_n)}$ avec $\varepsilon_n$ qui tend vers $0$ suffisamment vite pour que la série "extraite" en gardant simplement ces termes diverge. (de toute façons les gros termes lorsque $\sin(n) \geq -1+\varepsilon$ ne sont pas ceux qui feront diverger la somme).

PS : je vois alors que j'écris que Fred a répondu, je suis curieux et je vais aller voir ton lien !

Bonne soirée

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 473

Re : Série 1/n^(2+sin n)

Bonjour,
En gros, l'idée que je m'en fais est que les entiers se répartissent uniformément dans [tex]\mathbb R/2\pi \mathbb Z[/tex] et qu'il y en a à peu près un sur [tex]p[/tex] entre [tex]3\pi/2-\pi/p[/tex] et [tex]3\pi/2+\pi/p[/tex] modulo [tex]2\pi[/tex], donc en gros avec un sinus plus petit que [tex]-1+\pi^2/(2p^2)[/tex].
Quand tu prends [tex]1/p[/tex] de la somme des [tex]n^{-1-\pi^2/(2p^2)}[/tex], tu te retrouves à la louche avec du [tex]2p/\pi^2[/tex] qui tend vers l'infini avec [tex]p[/tex].
C'est de la grosse louche, il reste à affiner.

Dernière modification par Michel Coste (09-01-2023 16:07:37)