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Nolann

Invité

Intégrales impropres et encadrement

Bonjour !
Je révise mes partiels avec les annales des années précédentes, mais je ne comprends pas la correction de la question 2 de l'exercice 3.

L'exercice en question (la question 1 se fait facilement avec un changement de variable et la relation de Chasles) :

La correction :

Je ne comprends pas comment intégrer $f(x) \le f(t) \le f(x+1)$ donne $f(x) \le \int^{x+1}_{x} f(t)dt \le f(x+1)$. Comment $f(x)$ et $f(x+1)$ restent-ils inchangés?

Merci d'avance pour votre aide !

Glozi

Invité

Re : Intégrales impropres et encadrement

Bonsoir,
Puisque $\forall t\in [x,x+1], f(x) \leq f(t) \leq f(x+1)$
Alors par croissance de l'intégrale nous avons :
$\int_x^{x+1} f(x)dt \leq \int_x^{x+1} f(t)dt \leq \int_x^{x+1}f(x+1)dt$.
À présent puisque $f(x)$ est constante lorsque $t$ varie, alors $\int_x^{x+1}f(t)dt =((x+1)-x)\times f(x) = f(x)$ (longueur de l'intervalle multiplié par la constante qu'on intègre).
On fait de même pour $\int_x^{x+1}f(x+1)dt$.
Est-ce que c'est plus clair ou pas encore ?
Bonne soirée

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Intégrales impropres et encadrement

Bonsoir,

Que vaut [tex]\int_x^{x+1} f(x)\,dt[/tex] ?

Glozi

Invité

Re : Intégrales impropres et encadrement

alors $\int_x^{x+1}f(t)dt =((x+1)-x)\times f(x) = f(x)$ (longueur de l'intervalle multiplié par la constante qu'on intègre).

Désolé pour l'erreur, je voulais écrire $\int_x^{x+1}f(x)dt = ((x+1)-x)\times f(x) = f(x)$ (longueur de l'intervalle multiplié par la constante qu'on intègre, car bien évidemment cela ne marche que lorsqu'on intègre une constante).

Bonne soirée

Nolann

Invité

Re : Intégrales impropres et encadrement

Merci beaucoup, j'avais zappé que x était donné, et non variable, c'est parfaitement clair!

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Intégrales impropres et encadrement

[tex]x[/tex] varie, mais ce n'est pas la variable d'intégration dans l'intégrale.