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Vincent62

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condition d'extrema lié

Bonjour :)

Je cherche à déterminer les extrema de la restriction de l'application [tex]f : \mathbb{R^3}\to \mathbb{R}, (x,y,z)\to x^2+y^2+z^2[/tex] à l'ensemble d'équation [tex]g(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0[/tex] avec [tex]0<a<b<c[/tex].

Alors, pour tout [tex](x,y,z)\in \mathbb{R^3}, df(x,y,z)=2dx(x,y,z)+2ydy(x,y,z)+2zdz(x,y,z)[/tex] et [tex]dg(x,y,z)=\frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}+\frac{2z}{c^2}[/tex], et la condition d'extremum lié donne [tex]2x=\frac{2x}{a^2}k[/tex], [tex]2y=\frac{2y}{b^2}k[/tex] et [tex]2z=\frac{2z}{c^2}k[/tex] soit encore : [tex]2x(1-\frac{k}{a^2})=0[/tex] et [tex]2y(1-\frac{k}{b^2})=0[/tex] et [tex]2z(1-\frac{k}{c^2})=0[/tex].

A partir de là, je ne vois pas trop ce qu'il faut faire avec ce [tex]k[/tex]. Je remarque que si c'est trois conditions sont vérifiées, alors [tex]k=a^2=b^2=c^2[/tex] ce qui est impossible par hypothèse.
Les conditions portent donc sur [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] et [tex]z[/tex].
Dans la correction, on distingue les cas x=y=0 et z= plus ou moins c, [tex]x=z=0[/tex] et y= plus ou moins b et y=z=0 et x=plus ou moins a.

Je ne vois pas pourquoi, surtout que j'avais bien envie de conclure x=y=z=0.

Merci pour vos éclaircissements !

Dernière modification par Vincent62 (07-01-2023 15:57:38)

Michel Coste

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Messages : 1 475

Re : condition d'extrema lié

Bonjour,
Ton écriture des différentielles de [tex]f[/tex] et de [tex]g[/tex] ne va pas du tout ! Sois plus soigneux.
Après, les conditions de colinéarité des différentielles que tu obtiens sont correctes, mais tu oublies qu'on a [tex]\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1[/tex]. En particulier, ça exclut [tex]x=y=z=0[/tex].

Vincent62

Membre

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Re : condition d'extrema lié

Bonjour Michel,

Effectivement, je reprends :

[tex]df(x,y,z)=2xd(x,y,z)+2ydy(x,y,z)+2zdz(x,y,z)[/tex] et [tex]dg(x,y,z)=\frac{2x}{a^2}dx(x,y,z)+\frac{2y}{b^2}dy(x,y,z)+\frac{2z}{c^2}dz(x,y,z)[/tex].

D'accord, je vois, c'est évident maintenant !
Merci Michel.

Dernière modification par Vincent62 (07-01-2023 16:00:18)