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Beubeunoit

Invité

Ecriture compacte permutation circulaire

Bonjour,

Je suis en L3 Physique et je voulais savoir si vous connaissez une écriture compacte pour écrire que i,j,k peuvent prendre respectivement les valeurs 1,2,3 ou 3,1,2 ou 2,3,1 par exemple ? C'est-à-dire une permutation circulaire.  Car cela devient long à écrire si on a i,j,k,l,m ....

Merci d'avance de votre réponse.

Mazer666

Invité

Re : Ecriture compacte permutation circulaire

Oui, il existe une notation couramment utilisée pour écrire une permutation circulaire de n éléments. Par exemple, pour décrire une permutation circulaire de trois éléments, vous pouvez utiliser la notation suivante: (123). Cela signifie que 1 peut prendre la place de 2, 2 peut prendre la place de 3 et 3 peut prendre la place de 1.

Voici quelques exemples de permutations circulaires de quatre éléments:

    (1234): 1 peut prendre la place de 2, 2 peut prendre la place de 3, 3 peut prendre la place de 4 et 4 peut prendre la place de 1.
    (2143): 2 peut prendre la place de 1, 1 peut prendre la place de 4, 4 peut prendre la place de 3 et 3 peut prendre la place de 2.

Et voici comment vous pouvez écrire une permutation circulaire de cinq éléments:

    (12345): 1 peut prendre la place de 2, 2 peut prendre la place de 3, 3 peut prendre la place de 4, 4 peut prendre la place de 5 et 5 peut prendre la place de 1.

Beubeunoit

Invité

Re : Ecriture compacte permutation circulaire

Merci de ta réponse.
Donc il faut écrire :

ijk :(123)
ou
(123) : ijk

?

Pour dire que ijk prend la valeur 123 ou 231 ou 312 ?
Et par exemple (123) peut dire aussi que 1 peut prendre la place de 3, 2 peut prendre la place de 1 et 3 peut prendre la place de 2 ?

bridgslam

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Re : Ecriture compacte permutation circulaire

Bonsoir,

Beubeunoit, si une permutation de $\{1,...,n\}$ est telle que $i_1 \rightarrow i_2, i_2  \rightarrow  i_3, ... i_k  \rightarrow i_1$ et les autres éléments sont fixes, cela se note $(i_1, i_2, i_3,..., i_k ) $
L'écriture n'est pas unique.

A.

Glozi

Invité

Re : Ecriture compacte permutation circulaire

Bonjour,
Si j'ai bien compris ta question, $i,j,k$ sont des nombres entre $1$ et $3$ mais ils sont deux à deux distincts (ainsi $i,j,k$ sont $1,2,3$ mais pas forcément dans cet ordre).
Si c'est le cas tu peux écrire
$(i,j,k) \in \{(a,b,c) |, \{a,b,c\}=\{1,2,3\}\}$.
L'ensemble $\{(a,b,c) | \{a,b,c\}=\{1,2,3\}\}$ est l'ensemble des triplets (ensemble ordonné à $3$ éléments) $(a,b,c)$ tel que l'ensemble $\{a,b,c\}$ (non ordonné) est égal à $\{1,2,3\}$ (non ordonné).

Ainsi une manière concise de répondre à ton problème est d'écrire $\{i,j,k\} = \{1,2,3\}$.

Autre manière de procéder :
Poser $\mathfrak{S}_n$ l'ensemble des permutations de $\{1,\dots, n\}$ (notation assez standarde)
C'est à dire $\mathfrak{S}_n= \{\sigma : \{1,\dots,n\}\to \{1,\dots,n\} | \sigma \text{ bijectif}\}$.

Puis de dire $(i_1,i_2,\dots,i_n) \in \{(\sigma(j))_{1\leq j \leq n},  \sigma \in \mathfrak{S}_n\}$.

Si $(i_1,i_2,\dots,i_n)$ est dans cet ensemble cela signifie juste qu'il existe une permutation $\sigma$ dans $\mathfrak{S}_n$ qui envoie $1$ sur $i_1$, $2$ sur $i_2$ etc...

Avec cette méthode on écrirait donc $\exists \sigma \in \mathfrak{S}_n, \forall 1\leq j\leq n, \sigma(j) = i_j$.

L'écriture $(1 2 3)$ est utile pour décrire une permutation précise (ici celle qui envoie $1$ sur $2$, $2$ sur $3$ et $3$ sur $1$) mais elle ne contient pas toutes les permutations possibles.

Bonne journée

Beubeunoit

Invité

Re : Ecriture compacte permutation circulaire

Bonsoir,
Merci beaucoup pour vos réponses claires et complètes