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relique

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Exercice fonction

Bonjour à tous,

je galère un peu sur un exercice de fonctions Voici l'énoncé :
Soit f deux fois dérivable, On suppose f>=0 f''<=0.
Montrer que $\lim\limits _{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ existe.

Voilà, si quelqu'un pourrait m'éclairer, je vous remercie d'avance:)

Dernière modification par yoshi (04-01-2023 11:03:51)

Bernard-maths

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Re : Exercice fonction

Bonjour !

Je me pose des questions sur ton énoncé ... est-il exact ?

Michel Coste

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Re : Exercice fonction

Bonjour,
Tu peux commencer par montrer que [tex]f'(x)[/tex] tend en décroissant vers une limite positive ou nulle quand [tex]x[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex]

relique

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Re : Exercice fonction

Bonjour, oui il est parfaitement correct Bernard, qu'est ce qui te perturbe? C'est un exo d'examen de premier semestre dans le supérieur :)

Dernière modification par relique (04-01-2023 11:15:49)

Bernard-maths

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Re : Exercice fonction

Re,

l'énoncé suppose que f est définie sir IR ?

relique

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Re : Exercice fonction

Non elle est définie sur R, pardon de l'oubli.....

relique

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Re : Exercice fonction

Bonjour Michel, j'avais eu cette idée, mais je n'arrivais pas à le montrer correctement....:(

Bernard-maths

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Re : Exercice fonction

Bonjour à tous !

Michel, l'énoncé me fait penser que f est une fonction positive sur R, continue et à courbure négative ... je ne vois pas d'exemple, je dois avoir un oubli !

Michel Coste

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Re : Exercice fonction

[tex]f[/tex] est sans doute définie sur [tex]]0,+\infty[[/tex], par exemple.
relique a un peu cafouillé là-dessus.
Sinon il y a tout de même des exemples : les fonctions constantes positives. La conclusion est bien vraie dans ce cas, mais c'est un peu tristounet !

@relique : et en y revenant, tu arrives à le montrer ?

Bernard-maths

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Re : Exercice fonction

Merci Michel, ça me rassure !

Ou sur ]a, +∞[, ... Le reste va de soit ... à relique de suivre.

B-m

PS : fonctions constantes exclues si  f'' < 0 !

Dernière modification par Bernard-maths (04-01-2023 14:32:09)

relique

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Re : Exercice fonction

Je confirme que dans mon énoncé c'est une fonction de R dans R sans restriction.....
Du coup j'ai cherché un peu et j'ai fini par me rabattre sur l'absurde. En supposant que f'(x) était strictement négative, on arrive à la conclusion qu'elle tend vers 0 et donc qu'elle est croissante à partir d'un certain réel.
Ce qui impliquerait que f''(x) soit positive à partir de ce réel ce qui est impossible.....
c'est correct?

relique

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Re : Exercice fonction

Finalement, puisqu'elle est positive et décroissante, elle converge donc vers un réel positif ou nul:)

Michel Coste

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Re : Exercice fonction

Si dans ton énoncé c'est vraiment définie sur [tex]\mathbb R[/tex] tout entier, alors tu peux démontrer que la fonction est constante.
Indication : [tex]f'[/tex] est décroissante, ne peut pas prendre de valeur strictement négative (pourquoi ?), ne peut pas prendre de valeur strictement positive (pourquoi ?).

relique

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Re : Exercice fonction

Ce que j'ai fait ne suffit pas pour le cas strictement négatif?

Michel Coste

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Re : Exercice fonction

En supposant que f'(x) était strictement négative, on arrive à la conclusion qu'elle tend vers 0 et donc qu'elle est croissante à partir d'un certain réel.

????
Aucun correcteur ne prendra ça pour un raisonnement valable. Que veux-tu dire ?

relique

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Re : Exercice fonction

Je n'ai pas mis toutes les étapes de mon raisonnement :
- Supposons qu'il existe un réel x0 tel que f'(x0) < 0, cela implique que pour tout réel  y supérieur à x0, f'(y) < 0.
Cela signifie donc que f est strictement décroissante sur l'intervalle ] x0;  +∞ [, décroissante et minorée par 0, donc sa limite existe en  +∞.
Ce qui signifie que f'(x) tend vers 0 lorsque x tend vers  +∞.
Or puisque f'(x) est strictement négative, son seul moyen de tendre vers 0 est d'être croissante à partir d'une certaine borne, ce qui serait contradictoire.......

bridgslam

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Re : Exercice fonction

Bonjour,

Le graphique de la fonction étant tout situé sous une tangente quelconque, la fonction serait négative à partir d'un x>0, si une dérivée était str. Négative, raisonnement analogue du côté négatif.

A.

Bernard-maths

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Re : Exercice fonction

Bonsoir !

Pour relique, je voudrais donner un exemple de fonction f : la fonction ln ou logarithme népérien ... (pour attendre ?)

Evidemment définie sur R*+ !

B-m

PS : il doit y avoir un bug dans l'énoncé, sinon on est réduit aux fonctions constantes, c'est tristounet, comme dit Michel, mais c'est déjà ça.

Dernière modification par Bernard-maths (04-01-2023 18:31:49)

relique

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Re : Exercice fonction

Non je ne vois vraiment pas pourquoi f'(x) ne peut pas être négative....

bridgslam

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Re : Exercice fonction

Bonsoir,

▼une idée

Supposons la fonction f donnée sur $I = ]0, +\infty [$
Elle est concave sur I à cause de la dérivée seconde négative.
f est donc majorée sur I par la fonction affine tangente à f en un point quelconque $x_0$: $ \forall x \in I \;\;f(x) \le ax + b$
Si cette fonction affine tangente est de pente a str. négative,elle devient négative pour x assez grand, ainsi que f, ce qui est contradictoire.
Donc pour tout x dans I, $f'(x) \ge 0$.
f' décroissante et minorée par 0 admet donc une limite l positive ou nulle en $+\infty$.

Enfin soit $\epsilon \gt 0$.
$\exists A >0, \forall x >A \;\; |f'(x) - l | < \epsilon/2$.
on écrit $\frac {f(x)}{x-A} = \frac {f(x)- f(A)}{x-A} + \frac {f(A)}{x-A}$
Enfin $\exists B >0, \forall x >B \;\; |\frac {f(A)}{x-A}| < \epsilon/2$

Ainsi $|\frac {f(x)}{x-A}-l| \le |\frac {f(x)- f(A)}{x-A}-l|+ |\frac {f(A)}{x-A}|$
Avec le théorème des accroissement finis $\exists c > A |\frac {f(x)- f(A)}{x-A}-l|=|f'(c)-l| $

Puis $\forall x > max (A,B) \;\; |\frac {f(x)}{x-A}-l| \le |f'(c) - l |+ |\frac {f(A)}{x-A}|  \lt \epsilon$

Alors $\frac{f(x)}{x} = \frac{f(x)}{x-A} \frac{x-A}{x}$ tend visiblement vers l lorsque x tend vers $+\infty$.

A.

Dernière modification par bridgslam (04-01-2023 20:43:27)

relique

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Re : Exercice fonction

Bonsoir, un grand merci pour ce retour, je ne connaissais pas le fait que f est inférieure à cette fonction affine, cela simplifie bien des choses!
Pourrais tu m'indiquer d'ou ca vient?
Enfin, très belle démonstration pour la conclusion, je pensais quant à moi utiliser le théorème de Bernoulli- L'hospital dans le cas ou la limite l de la dérivée est strictement positive puisque cela implique que la limite  de f est + ∞.

Michel Coste

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Re : Exercice fonction

Bon, puisque Bridgslam a fait l'exo à ta place ...

bridgslam

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Re : Exercice fonction

Bonjour,

Relique, vous pouvez regarder du côté des fonctions convexes/concaves.
Il y a aussi de très bons exercices en rapport sur ce site.

A.

Michel Coste

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Re : Exercice fonction

Sans parler explicitement de convexité, on peut raisonner ainsi :
La fonction [tex]f'[/tex] est décroissante. Supposons qu'il existe [tex]x_0[/tex] avec [tex]f'(x_0)<0[/tex]. Alors, pour tout [tex]x>x_0[/tex], il existe [tex]y[/tex] tel que [tex]x_0<y<x[/tex] et [tex]f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(y)[/tex]. Donc [tex]f(x)\leq f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)[/tex]. Vois-tu pourquoi ça contredit l'hypothèse que [tex]f[/tex] est positive sur [tex]\mathbb R[/tex] ?
De la même façon, vois tu pourquoi l'hypothèse qu'il existe  [tex]x_0[/tex] avec [tex]f'(x_0)>0[/tex] contredit l'hypothèse que [tex]f[/tex] est positive sur [tex]\mathbb R[/tex] ?

Dernière modification par Michel Coste (05-01-2023 15:44:43)

Mazer666

Invité

Re : Exercice fonction

bonjour Pour montrer que la limite en question existe, il suffit de montrer que la fonction f(x)/x est bornée lorsque x tend vers l'infini.
Comme f est deux fois dérivable et f'' <= 0, f est concave. Par conséquent, pour tout x1 et x2 tels que x1 < x2, nous avons :

f(x2) - f(x1) <= (x2 - x1) * f'(x2)

En multipliant chaque membre de cette inégalité par x2 / (x2 - x1), nous obtenons :

f(x2) * x2 / (x2 - x1) <= f'(x2) * x2

En déplaçant tous les termes à gauche, nous obtenons :

f(x2) * x2 - f'(x2) * x2 <= 0

En ajoutant f'(x2) * x2 à chaque membre de cette inégalité, nous obtenons :

f(x2) * x2 <= f'(x2) * x2

En divisant chaque membre de cette inégalité par x2, nous obtenons :

f(x2) <= f'(x2)

Comme x2 est positif, nous pouvons en déduire que f(x2) / x2 <= f'(x2) / x2. Or, f'(x2) / x2 tend vers 0 lorsque x2 tend vers l'infini
(puisque f est deux fois dérivable et f'' <= 0), donc f(x2) / x2 est bornée lorsque x2 tend vers l'infini. Par conséquent, limx→+∞f(x)x existe.