Paradoxe anniversaire

Tortue69 · 27-12-2022 16:45:05

Bonjour,

Je ne comprends pas sur les sites internet, on nous présente le paradoxe d'anniversaire en prenant les chance qu'un individu ne soit pas né à la même date que vous (364/365) * (363/365) * (362/365)... Etc... En prétextant que calculer ceux qui sont nés le même jour est beaucoup plus compliqué.

Je ne comprends pas en quoi ça serait plus compliqué, il ne suffirait pas tout simplement de faire l'inverse à savoir, (1/365)*(2/365)*(3*365)... Etc ?

Zebulor · 27-12-2022 19:08:56

Bonsoir,
je ne suis pas sur de bien te comprendre :
Est ce que pour toi (1/365)*(2/365)*(3*365)... qui semble valoir $\dfrac {n!}{365^n}$ est :
- la probabilité que $n$ individu(s) ne soi(en)t pas né(s) le même jour ?
- ou la probabilité qu'au moins deux personnes parmi $n$ soient nés le même jour ?

L'idée est de considérer l'événement contraire et je ne pense pas que ce soit un "prétexte", sans y avoir trop mis le nez dedans...

Dernière modification par Zebulor (27-12-2022 23:17:23)

Tortue69 · 27-12-2022 23:26:23

Merci pour ta réponse.

Je vais essayer de mieux m'expliquer.
Quand on m'a annoncé la première fois de ma vie que y avait 50 % de chance que dans un groupe de 23 personnes il y ait au moins 2 individus qui ont la même date de naissance, naturellement j'ai commencé à me dire "ok, je prend le premier individu je le place dans le groupe. Je prend le deuxième, celui ci a 1/365 chance d'avoir la même date que le premier. Je prends le troisième, il a 2/365 chance d'avoir la meme date que le premier ou le deuxième, etc...."

Pourtant quand je pose le calcul ainsi, je ne trouve pas les 50%.

En revanche, si on regarde sur le net, toutes les pages mentionnent qu'il faut prendre le problème a l'envers (car de le prendre comme moi, c'est trop compliqué)

Et c'est là qu'il mettent 364/365 * 363/365, etc...
Je le comprends, je ne comprends juste pas pourquoi ma méthode serait :

1) plus compliqué
2) et on ne trouve pas le même résultat.

Je te remercie, j'espère avoir été plus clair.

Zebulor · 28-12-2022 00:01:16

Bonsoir,
merci, je comprends mieux comment tu vois les choses... je regarderai de plus près quand j'aurai dormi.

Je raisonnerais plutôt en ces termes si je veux résoudre ton problème du point de vue de l'événement contraire:
"au moins deux personnes sont nées le même jour" c est :
$x$ personnes sont nées le même jour et les $n-x$ autres personnes sont toutes nées à des jours différents, sachant que $2 \le x \le n$, ce qui peut se traduire par une intersection de réunion d'ensembles...

Et vu comme ça c'est plus compliqué, mais ça peut s'expliciter.

Dernière modification par Zebulor (28-12-2022 15:49:33)

Glozi · 28-12-2022 00:19:33

Bonsoir,
Je me permet d'intervenir pour faire remarquer que $1/365\times 2/365\times...$ est une probabilité plus petite que $1/365$ qui est pourtant la probabilité que juste deux personnes dans la même salle aient la même date d'anniversaire.

En fait si j'ai bien compris tu fais une disjonction de cas : ou bien c'est lorsque le deuxième rentre qu'on a une date commune pour la première fois, ou bien quand le troisième rentre etc...
Dans ce cas la probabilité à calculer s'exprime plutôt comme une somme que comme un produit
Attention la somme obtenue sera sûrement de la forme :
$1/365 + (1-1/365)\times 2/365 + (1-1/365)\times (1-2/365)\times 3/365 + \dots$

cette expression est plus compliquée a priori car il y a une grosse somme et de gros produits...

Si tu n'utilises pas "pour la première fois" alors il faut faire très attention aux cas où il y a 3 ou plus personnes qui ont la même date d'anniversaire...

(mais de manière générale en proba quand on demande de calculer la proba d'un évènement, un bon réflexe est de regarder si l'évènement contraire n'aurait pas une proba plus facilement calculable).
Bonne soirée

Bernard-maths · 28-12-2022 11:27:11

Bonjour à tous !

Je vais calculer la probabilité pour qu'il y ait 23 individus nés à des jours différents :

Le 1er est né un certain jour, les autres sont nés des jours différents ... ainsi le 2ème a une proba de 364/365 d'être né un jour différent du 1er, puis le 3ème 363/365, le 4ème 362/365 ... le 23ème 343/365. On en fait le produit : p = (364*363*362* ... * 343)/(365)²² !

Ce qui doit donner ... 0,520892383440... environ.

La probabilité contraire, c'est à dire qu'il y ait au moins 2 personnes nés le même jour (date de l'année), est donc 1 - 0.52 = 0.48 !

Donc presque 1 "chance" sur 2.

Bernard-maths

PS : quand on dit "jours différents", on sous entend qu'il s'agit de dates dans l'année. Ainsi 2 personnes nées le 1er janvier en 1999 et en 2001 sont nées le même jour ...

Dernière modification par Bernard-maths (28-12-2022 12:39:58)

Bernard-maths · 28-12-2022 11:56:55

Bonjour à tous !

Histoire d'en remettre une couche ...

Dans un groupe de 365 personnes, quelle est la probabilité qu'aucune ne soit née le même jour ?

Pareil avec un groupe de 366 personnes ?

Quelle est la bonne réponse ?

Moi, j'ai pas encore cherché ...

Bernard-maths

Zebulor · 28-12-2022 12:54:13

Bonjour !
Je crois que Glozi a répondu à notre ami..

Bernard-maths a écrit :

Dans un groupe de 365 personnes, quelle est la probabilité qu'aucune ne soit née le même jour ?
Pareil avec un groupe de 366 personnes ?

@Bernard : Pour 366 personnes si on ne compte pas les années bissextiles la réponse est immédiate

Bernard-maths · 28-12-2022 16:06:58

Bonjour à tous !

@ Zebulor !

Echappatoire non autorisée ! Sur 4 ans, dont un bissextile, il y a 1461 jours ... donc 1 chance sur 1461 de naitre un 29 février !

Alors tous les calculs basés sur 365 jours sont FAUX ! Mais pas loin de la vérité ...

@ Tortue du Rhône, beaucoup de digressions, mais as tu suivi en discussion #6 ? C'est rapide.

Sinon on peut continuer à discuter ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (28-12-2022 16:12:19)

Tortue69 · 29-12-2022 01:38:16

Bonjour Bernard et merci tout est très claire !

Je comprends comment tu trouves les 0.48 mais je ne comprends pas pourquoi je ne peux pas exprimer en ayant le raisonnement inverse a savoir (1*2*3...*22)/(365^22)

Si tu trouves les 0.52 en prenant la probabilité des individus ayant une date différente pourquoi je ne.peux pas trouver le 0.48 en prenant proba qu'un individu a la meme date de naissance ?

Qu est ce qui est faux dans mon raisonnement ou/et ma démonstrations ?

Bernard-maths a écrit :

Bonjour à tous !
Je vais calculer la probabilité pour qu'il y ait 23 individus nés à des jours différents :
Le 1er est né un certain jour, les autres sont nés des jours différents ... ainsi le 2ème a une proba de 364/365 d'être né un jour différent du 1er, puis le 3ème 363/365, le 4ème 362/365 ... le 23ème 343/365. On en fait le produit : p = (364*363*362* ... * 343)/(365)²² !
Ce qui doit donner ... 0,520892383440... environ.
La probabilité contraire, c'est à dire qu'il y ait au moins 2 personnes nés le même jour (date de l'année), est donc 1 - 0.52 = 0.48 !
Donc presque 1 "chance" sur 2.
Bernard-maths
PS : quand on dit "jours différents", on sous entend qu'il s'agit de dates dans l'année. Ainsi 2 personnes nées le 1er janvier en 1999 et en 2001 sont nées le même jour ...

Michel Coste · 29-12-2022 12:01:08

Bonjour Tortue69,
Que fais tu comme calcul ?
Tu MULTIPLIES :
la probabilité que (l'élève) 2 ait même jour de naissance que 1,
par la probabilité que 3 ait même jour de naissance que 1 ou 2, sachant que ces jours sont différents,
par la probabilité que 4 ait même jour de naissance que 1 ou 2 ou 3, sachant que ces jours sont différents, etc.
Ça ne va pas du tout. Tu devrais ADDITIONER
la probabilité que 2 ait même jour de naissance que 1,
la probabilité que 1,2 aient des jours de naissance différents et 3 même jour de naissance que l'un d'entre eux,
la probabilité que 1,2,3 aient des jours de naissance différents et 4 même jour de naissance que l'un d'entre eux, etc.
Autrement dit :
[tex]\dfrac{1}{365} + \dfrac{364}{365}\times \dfrac{2}{365} +\dfrac{364\times363}{365^2}\times\dfrac{3}{365} +\dfrac{364\times363\times\cdots\times 344}{365^{21}}\times\dfrac{22}{365}[/tex]

Bernard-maths · 29-12-2022 17:43:34

Bonjour à tous !

Tortue69, comme le dit bien Michel Coste, pour le cas direct, il faut envisager tous les cas possibles (analyse par disjonction des cas), et dans ce cas il faut alors faire des additions !

Je vais ici te montrer deux méthodes de calcul ... 1) Avec un arbre qu'on dessine peu à peu, 2) Avec une formule, esquissée par Michel Coste.

Un arbre est un graphique que l'on dessine depuis un point de départ, avec des segments pour les différents cas à envisager ...

Voici un arbre que j'ai la flemme de recopier "au propre", mais il est juste (et assez lisible).

Le point de départ est le cercle 1 à gauche , qui représente le 1er individu, né un jour j1. Le 2ème individu par les cercles 2; Il y en a 2 car il y a 2 cas : OU BIEN 2 est né le même jour j1 que 1, OU BIEN il est né un autre jour ! La branche qui va de 1 à 2 vers le haut est le cas du même jour, j'ai noté (2=1) pour symboliser, et marqué la probabilité qui est de 1/365 ...

L'autre branche vers le bas est le CAS CONTRAIRE, pas le même jour, noté symboliquement 2#1, et la proba qui est le complément à 1, donc égale à 364/365. Voilà pour le début ...

Après le 2 voici le 3ème individu. Avec le 2 du haut : SOIT 3 est né le même jour que 1 et 2 (1=2=3) symboliquement, proba = 1/365, SOIT un autre jour (1=2#3) et proba de 364/365. Avec le 2 du bas, c'est "plus compliqué", il y a 3 cas : SOIT 3 est né même jour que 1 (3=1) et proba 1/365 ; SOIT 3 est né même jour que 2 (3=2) et proba = 1/365 ; SOIT 3 est né un autre jour que ceux de 1 et de 2 : (3#1,2) et proba=363/365. 363 car il faut enlever les 2 jours de 1 et de 2 ...

Donc pour 3 individus l'arbre a en fin 5 branches ... Je continue plus loin. B-m

Dernière modification par Bernard-maths (29-12-2022 21:41:50)

Bernard-maths · 29-12-2022 18:34:26

Je prends la suite ici avec un quatrième individu 4.

Je ne vais pas détailler les différents cas du 4 par rapport à 1, 2 et 3 ... les branches sont documentées comme pour le 3 !

Finalement on trouve pour 4 individus un arbre qui a 15 branches ! Je te laisse deviner le nombre de branches pour 23 individus ... beaucoup trop ??? La méthode de l'arbre atteint souvent vite ses limites par manque "de place".

Pour finir cet exemple, regardons les probabilités. Sur chaque tronçon de branche nous avons écrit des probabilités. Pour connaître la probabilité en fin de branche, il faut multiplier les proba des différents tronçons ... toutes les probas ont le même dénominateur 365, sur 3 tronçons, cela donne (365)³. Dans la partie droite du tableau, j'ai écris au début le produit des 3 numérateurs des 3 tronçons, sans répéter le 365³ au dénominateur ... puis à droite le résultat du produit. Si on additionne tous ces résultats, on trouve 48 627 125 (au numérateur(, et d'autre part 365³ = 48 627 125 aussi, donc le rapport vaut 1 ! NORMAL, la somme des probas doit valoir 1.

Chaque branche décrit une situation en différenciant 1 de 2 de 3 et de 4 ... Mais si je cherche la proba d'avoir 2 individus sur les 4 qui sont nés un même jour, comment procéder ?

procédons de 2 manières : a) on regarde dans l'arbre ... b) On procède par calcul ...

a) On regarde bien quelles sont les branches où il y a 2 individus nés le même jour ... on trouve 6 lignes, correspondant aux valeurs 132 132, ce qui donne en tout 6 fois 132 132 = 792 792 cas. On divise par 48 627 125, et on trouve Proba(2 sur 4 nés même jour) = 1.63 %

b) On utilise le méthode esquissée par Michel Coste, et on se dit :

un individu est né un jour j, un deuxième aussi, donc proba 1/365 ; les 2 autres nés 2 autres jours différents, donc proba 364/365 * 363/365. Mais de combien de façons cela peut-il arriver ? Autant qu'il y a de façons de choisir 2 individus parmi 4 = combinaison de 2 parmi 4 = C₄² (en notation ancienne) = je crois (²₄) = 6 !

Donc en tout : Proba = 1/365 * 364/365 * 363/365 * 6 = 792 792 cas ! On retrouve ce qu'on a trouvé dans l'arbre ...

Ainsi la voie du calcul avec les coefficients binomiaux est plus générale ...

REPONSE à la question initiale de Tortue69 :

Si on veut calculer la proba d'avoir au moins 2 individus sur 23 qui sont nés le même jour, par le calcul il faut chercher Proba(2 sur 23) + Proba(3 sur 23) + Proba(4 sur 23) + ... + Proba(22 sur 23) + Proba(23 sur 23) ! Gros calcul, alors que l'événement contraire est Proba(1 sur 23) ... beaucoup plus simple !

Voilà cette présentation finie, elle fait au travers de cet exemple un rappel sur les méthodes vues avant le BAC.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (29-12-2022 22:14:03)

Zebulor · 29-12-2022 23:57:16

Bonsoir,

Bernard-maths a écrit :

Ainsi la voie du calcul avec les coefficients binomiaux est plus générale ...

C'est celle que je pensais emprunter au post #4, mais toutes ces informations c'est déjà beaucoup pour Tortue69..

Zebulor · 30-12-2022 07:57:51

re,
@Tortue69 : tu as multiplié des probabilités d'événements associés à des ensembles disjoints.
par exemple : au lancer d'un dé , c'est comme si tu calculais la probabilité de l événement : "le résultat est pair ET impair", ce qui n'a pas de sens.
Par contre la probabilité de l'événement : "le résultat est pair OU impair" a un sens, et c'est bien une addition de probabilités

Dernière modification par Zebulor (30-12-2022 08:12:54)

Michel Coste · 30-12-2022 18:06:18

Le calcul direct n'est pas si atroce que ça.
Pour une année de [tex]a[/tex] jours et une classe de [tex]k+1[/tex] élèves, la probabilité qu'il y ait au moins deux èlèves avec même jour anniversaire est d'après le calcul direct (voir le calcul que j'ai fait plus haut) :
[tex]q_k=\dfrac1a + \dfrac{2(a-1)}{a^2}+\dfrac{3(a-1)(a-2)}{a^3}+\cdots+\dfrac{k\prod_{i=1}^{k-1}(a-i)}{a^k}[/tex].
Montrons par récurrence sur [tex]k[/tex] que c'est bien ce qu'on trouve par calcul sur l'événement complémentaire, à savoir :
[tex]p_k=\dfrac{a^k-\prod_{i=1}^k(a-i)}{a^k}[/tex]
C'est vrai pour [tex]k=1[/tex] : [tex]\dfrac1a= \dfrac{a-(a-1)}a[/tex]
Supposons que l'égalité est vraie pour [tex]k[/tex]. Alors
[tex]\begin{align}p_{k+1}&=\dfrac{a(a^k-\prod_{i=1}^k(a-i))}{a^{k+1}}+ \dfrac{(k+1)\prod_{i=1}^k(a-i)}{a^{k+1}}\\ &=p_k+ + \dfrac{(k+1)\prod_{i=1}^k(a-i)}{a^{k+1}}\\&=q_k+ \dfrac{(k+1)\prod_{i=1}^k(a-i)}{a^{k+1}}=q_{k+1}\;.\end{align}[/tex]

Zebulor · 31-12-2022 13:01:29

Bonjour,
je me dis que Tortue69 a peut être besoin qu'on détaille ceci pour l'écriture du numérateur de $p_{k+1}$:
${a^{k+1}-\prod_{i=1}^{k+1}(a-i)}
={a^{k+1}-\prod_{i=1}^{k}(a-i)(a-(k+1))}={a^{k+1}-a\prod_{i=1}^{k}(a-i)+(k+1)\prod_{i=1}^{k}(a-i)}$

Bon réveillon

Dernière modification par Zebulor (31-12-2022 13:04:24)

Boody · 02-01-2023 09:57:20

Bernard-maths a écrit :

Bonjour à tous !
Histoire d'en remettre une couche ...
Dans un groupe de 365 personnes, quelle est la probabilité qu'aucune ne soit née le même jour ?
...
Quelle est la bonne réponse ?
Moi, j'ai pas encore cherché ...
Bernard-maths

Bonjour forum,

0.

Par exemple avec :
208 personnes la proba. de n'avoir aucune égalité est de 3,10E-33.
208 personnes la proba. de n'avoir aucune égalité est de 4,48E-80. ~ 1 / nb protons dans l'univers obs.
323 personnes la proba. de n'avoir aucune égalité est de 1,51E-100. ~ 1/ 1 gogol
365 personnes la proba. de n'avoir aucune égalité est de 1,96E-155
366 personnes la proba. de n'avoir aucune égalité est de 5,36E-158

Sauf erreur de ma part commise dans ce Googlesheets que j'avais fait en 2014 pour me convaincre qu'à partir de 23 la proba. de collision était > 50 %. https://docs.google.com/spreadsheets/d/ … sp=sharing

jpg

Cdt.

Dernière modification par Boody (02-01-2023 22:08:24)

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#1 27-12-2022 16:45:05

Paradoxe anniversaire

#2 27-12-2022 19:08:56

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#3 27-12-2022 23:26:23

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#5 28-12-2022 00:19:33

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#6 28-12-2022 11:27:11

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