Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Mesure sigma finie

Bonjour,

Je m'intéresse aux mesure dites \sigma-finies.
Je comprends par exemple que la mesure de Lebesgue [tex]\lambda[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex] le soit, car d'une part, [tex]\mathbb{R}=\cup_{n\in\mathbb{N}} ]n;n+1[[/tex], et d'autre part, [tex]\lambda(]n;n+1[)=1[/tex] pour tout [tex]n\in \mathbb{N}[/tex].

Maintenant, pour la mesure de comptage [tex]\nu[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex], j'essaye de voir pourquoi elle ne l'est pas. Il s'agirait donc de montrer que [tex]\mathbb{R}[/tex] ne peut pas s'écrire comme une réunion dénombrable d'ensembles de mesures finies pour la mesure de comptage, c'est bien cela ? Si oui, comment le démontre-t-on ?

Glozi

Invité

Re : Mesure sigma finie

Bonjour,
Il faut utiliser le fait que $\mathbb{R}$ est non dénombrable, ainsi que le fait qu'une partie qui a une mesure de comptage finie est en fait une partie finie.
Bonne journée

Mazer666

Invité

Re : Mesure sigma finie

Oui, vous avez raison. Pour montrer que la mesure de comptage ν sur R ne peut pas être une mesure de Lebesgue, il faut montrer que R ne peut pas s'écrire comme une réunion dénombrable d'ensembles de mesures finies pour la mesure de comptage ν.

Voici une démonstration simple:

Considérons l'ensemble E = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...}. E est un ensemble dénombrable, car il est infini mais peut être listé de manière bijective avec les entiers naturels. Or, ν(E) = ∞ (la mesure de comptage de tout ensemble dénombrable est infinie). Cela signifie que E n'est pas de mesure finie pour la mesure de comptage ν.

Comme R peut être écrit comme la réunion de tous les ensembles de la forme E, cela signifie que R ne peut pas être écrit comme une réunion dénombrable d'ensembles de mesures finies pour la mesure de comptage ν. Donc, ν n'est pas une mesure de Lebesgue.

Glozi

Invité

Re : Mesure sigma finie

Bonjour,

Mazer666, à deux reprises tu confonds "mesure $\sigma$ finie" avec "mesure de Lebesgue" (dans ta première phrase et dans ta dernière).
Ensuite ta démonstration ne me convainc pas vraiment, certes il est vrai que $E$ que tu décris est de mesure de comptage infinie. Cependant tu dis "$\mathbb{R}$ peut être écrit comme la réunion de tous les ensembles de la forme $E$", je ne vois pas vraiment ce que tu veux dire, ni comment tu conclus ensuite.

PS : ce post date de l'année dernière ! (même si on est au début de l'année, je ne sais pas si c'est une bonne idée de déterrer des "vieux" sujets)

PS2 : je me demande si tu n'utiliserais pas l'IA ChatGPT ou un outil similaire pour répondre sur le forum par hasard ? Il se peut que je me trompe auquel cas je te présente mes excuses, mais ce doute se pose selon moi étant donné le nombre impressionnant de tes posts récents (la plupart avec des erreurs, pas des fautes d'orthographe justement, mais des erreurs mathématiques) et en rapide succession (juste 2 ou 3 minutes entre deux réponses). Par ailleurs, certains de ces posts (pas tous mais certains) ressemblent dans leur formulation à ce que répond ChatGPT quand on lui parle de maths (du moins j'ai l'impression). De plus, la plupart de tes posts ignorent complètement les réponses déjà existantes des autres intervenants ce qui me laisse penser que tu donne juste à manger le premier post à l'IA.

Bonne journée

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Mesure sigma finie

Bonjour,

J'ai un gros doute aussi, d'ailleurs dans le post lancé par relique, la "démonstration" de Mazer666 n'a pas de sens non plus.
Etrange donc, ou plutôt bizarre.

A.

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Mesure sigma finie

Bonsoir,
également surpris par la forte productivité de Mazer666... sans relire en détail on peut se faire avoir.
Peut on lui accorder le bénéfice du doute ?

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Mesure sigma finie

Bonsoir Zébulor,

Oui, et même sans gros détail ..., je penche fortement pour un algorithme qui donne des résultats bien foireux visiblement.

A.