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gabriel98

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algebre

bonjour a tous,
soit p un nombre premier. on definit Zp={a/b, a appartient Z, b appartient N*, pgcd(a,b)=1} un sous-anneaux de Q.
je voulais qu'on m'aide a:
1) montrer que pour tout x appartient Q*, alors x appartient Zp ou l'inverse de x appartient Zp.
2) montrer que les seuls sous-anneaux contenant Zp sont Zp et Q.

Fred

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Re : algebre

Bonjour

  Est ce que tu n'as pas oublié quelque chose dans la définition de Zp car ça a l'air d'être Q...

F.

Grabriel98

Invité

Re : algebre

Bonjour, j'ai rien oublié sur la definition de Zp. Autrement dit Zp est une partie de Q.

Fred

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Re : algebre

Dans ta définition de Zp, p n'apparait pas!

Grabriel98

Invité

Re : algebre

Oui Vous avez raison Je m'excuse
Dans la definition de Zp c'est pgcd (p,b) aulieu pgcd(a,b)
Zp={a/b, a appartient Z, b appartient N*, pgcd(p,b)=1}

Fred

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Re : algebre

Re-

  D'accord.  Voici déjà un petit coup de main pour la première question : si $x\in\mathbb Q^*$, tu écris $x=a/b$ et tu distingues deux cas : ou bien pgcd(p,b)=1, ou bien $\textrm{pgcd}(p,b)\neq 1.$
Dans ce dernier cas, tu peux démontrer que $\textrm{pgcd}(p,a)=1$ (cela utilise que $p$ est un nombre premier).

F.

Grabriel98

Invité

Re : algebre

Merci Fred c'est gentil
Et pour la deuxieme j'ai pensé de poser un sous anneaux B contenant Zp afin de montrer que B=Q

Fred

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Re : algebre

Re-
 
  Si tu supposes que $B$ n'est pas égal à $\mathbb Zp$, il existe un élement $x=\frac{a}{bp^n}\in B$ avec $a$ et $b$ premiers avec $p$
et $n\geq 1$. Alors $\frac{p^{n-1}b}a$ est dans $\mathbb Zp\subset B$ et donc $\frac{1}{p}\in B.$
De là, on peut montrer assez facilement que tous les éléments de $\mathbb Q$ sont dans $B.$

F.

Grabriel98

Invité

Re : algebre

Bonjour Fred,
Pouvez Vous revenir sur le Choix du x j'ai pas Bien compris. Je pense que si x n'appartient pas à Zp il suffit seulement de poser x=a/b avec pgcd (p,b)≠1

Pour montrer que tous Les elements de Q sont dans B j'ai pensé à choisir un y appartenant à Q afin distinguer deux cas:
- si y appartient à Zp alors y appartient B puisque Zp est inclus dans B.
- si y n'appartient pas à Zp alors y= c/dp^m (d'apres votre Choix de x) et Je montrer que 1/p^m appartient à B..

Fred

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Re : algebre

Pour mon choix de x j'ai simplement factorisé le dénominateur avec la plus grande puissance de p possible.

Grabriel98

Invité

Re : algebre

Je vois j'ai compris maintenant et merci encore et Je demandais si Vous n'avez pas des documents ou quelques choses qui peut m'aider pour m'ameliorer sur cette matiere (algebre) surtout sur Les groupes anneaux et extension de corps

Fred

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Re : algebre

Re-

  Si tu veux t'exercer, il y a plein d'exercices sur cette page.

F.

Grabriel98

Invité

Re : algebre

Bonjour Fred,
Pouvez Vous m'aider sur cette question:
On me demande de montrer que pour tout idéal proper de Zp , il esciste un unique entier n>0 tel que I soit engendré par p^n ( c'est à dire formé des (p^n)u, u appartient Zp)

FARES LALAMI

Invité

Re : algebre

bonjour

Michel Coste

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Re : algebre

Bonjour,
Tu peux commencer par démontrer que pour tout élément [tex]x\in \mathbb Z_{(p)}[/tex], il existe un unique entier naturel [tex]v[/tex] tel que [tex]x=p^vu[/tex] où [tex]u[/tex] est un élément inversible de [tex] \mathbb Z_{(p)}[/tex].

Dernière modification par Michel Coste (30-12-2022 16:03:30)

Grabriel98

Invité

Re : algebre

Bonjour Michel,
Puisqu'on nous parle d'idéal propre est ce qu'on peut prendre x dans Zp??

Michel Coste

Membre Expert

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Re : algebre

Je ne comptrends pas ta question.
Je t'ai fait une suggestion, à toi de l'utiliser.

Grabriel98

Invité

Re : algebre

Bonjour Michel
Oui vous m'avez dit de prendre x dans Zp or on nous a dit que I est propre c'est à dire que I est différent de Zp. C'est pourquoi je vous demande si on peut prendre x dans Zp

Michel Coste

Membre Expert

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Re : algebre

Je trouve cette question toujours aussi bizarre.
Ce que je te suggère de montrer peut t'aider dans la caractérisation des idéaux propres.
Rien ne t'oblige de suivre cette suggestion.

Grabriel98

Invité

Re : algebre

Bonjour Michel,
Je comprends maintenant, Merci pour votre aide c'est gentil...