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Verseaugalop

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Problème de négation.

Bonjours,
je dois trouver les négations de ses phrases mathématiques.
Je n'arrive pas à être en accord avec moi même quant à leur négation.
J'en ai discuter avec d'autres, mais à nouveau, on ne parvient pas pas à tomber d'accord.

∃η tel que P(n) ⇒ Q(n)  j'ai pensé à $\forall n : P(n) \land \lnot Q(n)$

∀ $\epsilon$ > 0, ∃n > 0 tel que (|x − y| < n) ⇒ (|f(x) − f(y)| < $\epsilon$)  j'ai pensé à  ∃$\epsilon$> 0, $\forall$ n > 0 tel que

∃n > 0 tel que ∀ $\epsilon$> 0,((|x − y| < n) ⇒ (|f(x) − f(y)| < $\epsilon$)) j'ai pensé à ∀ n > 0 tel que $\exists \epsilon$ > 0

pour la fin des deux dernière phrase, je sèche un peu. Les parenthèse me posent problème. J'aurais envie de mettre la même choses dans les deux phrases en me basant sur ce que j'ai fait sur la première phrase mais je ne suis pas sur de mon coup.

Merci d'avance.

(ps: première tentative d'écriture en latex, j'espère que c'est lisible xD)

Glozi

Invité

Re : Problème de négation.

Bonjour,
Je pense que tu as bien commencé.
Lorsque tu dois écrire la négation d'une implication, pense à écrire $P\implies Q$ comme $(\neg P) \vee Q$ (c'est plus simple pour comprendre ce que va être la négation de l'implication).

Pour les parenthèses qui te gênent j'imagine que pour la première tu te demande si c'est :
$\forall \varepsilon>0, (\exists \eta>0, |x-y|<\eta)\implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon$ ou alors
$\forall \varepsilon>0, \exists \eta>0,(|x-y|<\eta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon)$.
En l'absence de plus de précisions (par exemple les parenthèses que j'ai mis dans la première forme) alors c'est certainement la deuxième forme qui est comprise quand on lit la proposition.

Enfin, la proposition $|x-y|<\eta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon$ est juste une proposition de la forme $P\implies Q$ avec $P$ la proposition $|x-y|<\eta$ et $Q$ la proposition  $|f(x)-f(y)|<\varepsilon.$ tu peux donc facilement trouver sa négation.

Ensuite, une petite remarque, c'est bizarre de voir écrit "$\forall \eta >0$ tel que" le "tel que" se dit plutôt après un symbole $\exists$.

Bonne journée.

Verseaugalop

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Re : Problème de négation.

Pour le symbole $\exists$ c'est vrai que ça parait logique de mettre le tel que à sa suite.

Pour la partie à négationner dans la proposition, j'avais compris la manière dont je devais le faire.
Ce qui m'ennuyais c'était de savoir si les doubles parenthèses dans la 3e proposition représentaient la même chose que dans la seconde.

Mais si j'ai bien compris, alors j'écrirais :
pour la première
$\exists \epsilon >0 : \forall n>0, (|x-y|<n) \land (|f(x) − f(y)| \ge \epsilon)$

pour la deuxième

$\forall n>0,\exists \epsilon >0 : (|x-y|<n) \land (|f(x) − f(y)| \ge \epsilon)$

Glozi

Invité

Re : Problème de négation.

Je pense que c'est ça en effet.
Bonne journée

Michel Coste

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Re : Problème de négation.

Bonjour,
Un tout petit détail : les symboles de ponctuation après les quantificateurs ne font pas partie du langage mathématique.

Verseaugalop

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Re : Problème de négation.

Bonjour,
Un tout petit détail : les symboles de ponctuation après les quantificateurs ne font pas partie du langage mathématique.

Ah bon ? J'étais persuadée que ça en faisait partie oO

Dernière modification par yoshi (28-12-2022 17:51:55)

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Problème de négation.

Non, ce sont des décorations qui n'ont pas d'utilité.