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Acrobate23

Invité

Derivée partielle et courbe paramétrée

Bonjour, j'ai des petits souci concernant mon sujet de DM... Est-ce que vous auriez la gentillesse de me venir en aide ? Merci d'avance.

SUJET:

Soit [tex]U = \left\{(x,y) \in R^{2} | x^{2} + y^{2} < 1 \right\}[/tex]
Soit [tex]f: U \rightarrow R[/tex] la fonction définie par
[tex]f(x,y) = \sqrt(1 - x^2 - y^2)[/tex]

QUESTIONS:
1) Dessiner le graphe de f dans [tex]R^{3}[/tex]. On note G le graphe et on le considere comme un espace en lui même;

OK, j'ai tracé mon graphe mais je ne peux pas vous le montrer, c'est l'hémisphère nord de la sphère unité

2) Montrer que la fonction [tex]\varphi : U\rightarrow G[/tex] définie par [tex]\varphi (x,y) = (x,y,f(x,y))[/tex] est une bijection, continue et donner son inverse

Bijection c'est OK (injectif + surjectif), continue je ne sais pas trop comment m'y prendre... un indice ? Et pour l'inverse, je dirais qu'on cherche  [tex]\psi[/tex] tel que   [tex]\psi (\varphi (x,y)) = (x,y)[/tex] ET  [tex]\varphi (\psi (x,y,z)) = (x,y,z)[/tex], en reflechissant un peu j'ai trouvé une fonction qui conviendrais... Peut-être  [tex]\psi : G \rightarrow U, (x,y,z)\rightarrow (x,y)[/tex]

3) Soit P =[tex](x_{p}, y_{p}) \in U[/tex] un point fixé et soit Q = [tex]\varphi (P) \in G[/tex] son image par la fonction [tex]\varphi[/tex].
Donner une description du plan affine [tex]\mathit{P}[/tex] de [tex]R^{3}[/tex] et qui passe par Q tangeant à G. Donner une base de sa direction.

Alors ici je n'ai aucune idée de comment procéder et ça me bloque pour la suite vu que j'ai besoin de la base... Déjà qu'est ce que veut dire une description d'un plan affine ?

4)Soit [tex]\vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j}[/tex] un vecteur de [tex]R^{2}[/tex]. Soit P = [tex](x_{p}, y_{p}) \in U[/tex] un point fixé. Soit la droite:
[tex]l: \begin{cases} & x(t) = x_{p} + at \\ & y(t) = y_{p} + bt \end{cases}[/tex]
passant par P et dirigée suivant [tex]\vec{u}[/tex]

Calculer le vecteur tangeant à la courbe [tex]\gamma (t)[/tex] définie par:
[tex]\gamma (t) = \varphi (x(t),y(t)) = (x(t),y(t),\sqrt{(1-x(t)^2 - y(t)^2)})[/tex]
On le note [tex]\vec{w_{\vec{u}}}[/tex]. Montrer que celuin ci appartient à la direction du plan P

Ici je ne suis pas certain mais je vous donne ma démarche, je dois donc calculer  [tex]\gamma'(t) = (x'(t),y'(t), x'(t)\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t)) + y'(t)\frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))[/tex]
Pouvez-vous confirmer cela car la question d'après me fait douter de mon résultat ? J'obtiens,
[tex]\left(a,b, \frac{-a(x_{p} + at) - b(y_{p} + bt)}{\sqrt{1-(x_{p} + at)^{2} - (y_{p} + bt)^{2}}} \right)[/tex] pour les coordonnées de la dérivée

5) Montrer que l'application [tex]d_{\varphi }: R^{2} \rightarrow \vec{P}, \vec{u} \rightarrow \vec{w_{\vec{u}}}[/tex] est linéaire ET bijective

Il me faudrait la confirmation ou rejet de la question précédente...

6) Soit [tex](\vec{u},\vec{v})_{P} = \left<d_{\varphi}(\vec{u}),d_{\varphi}(\vec{v}) \right>[/tex] avec [tex]\left<.,. \right>[/tex] un produit scalaire sur [tex]R^{2}[/tex]

Montrer que c'est un Produit scalaire

Évidemment pour ça il n'y a pas de souci, j'utilise le fait que [tex]\left<.,. \right>[/tex] est un produit scalaire sur [tex]R^{2}[/tex] et que [tex]d_{\varphi }[/tex] est linéaire,  je vérifie toutes les propriétées !

7) Ecrire la matrice:

[tex]M_{(.,.)_{P}} = \begin{pmatrix} (\vec{i},\vec{i})_{P} & (\vec{i},\vec{j})_{P} \\ (\vec{j},\vec{i})_{P} & (\vec{j},\vec{j})_{P} \end{pmatrix}[/tex]

Que remarque t-on ?

Honnêtement, je ne sais pas vraiment ce que je vais constater... mais on verra à ce moment...

Je vous remercie encore !

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 404

Re : Derivée partielle et courbe paramétrée

Bonjour,

Moi ce que je constate, c'est que tu as publié sur plusieurs sites.
Ça s'appelle :
- Manger à plusieurs râteliers,
- Vouloir le beurre, l'argent du beurre et réclamer la crémerie en prime,
- Beurrer sa tartine des 2 côtés et éventuellement sur la tranche...
Il va te falloir choisir le côté qui va te répondre...

De l'autre côté, tu postes le 25/12 à 23 h 04 puis ici le 26/12 à  0h 07...
Forcément, je me demande ce qu'ils ont bien pu faire (ou ne pas faire) sur leur île pour mériter ton ire...
Hmmmmm.... Voyons... Ca y est, j'y suis !

Alors là, je te comprends...
Comment ? Un 25 décembre, jour de Noël, à 23 h 04 personne n'était là pour te répondre dans l'heure qui suivait ???
Ils ont osé ? Roohhh....
Scandaleux ! Intolérable (et donc pas toléré) ! Inadmissible (et donc pas admis) ! Au bûcher !
Mais pas avant de leur avoir fait goûter de ton fouet...

Alors, 1 h 03 min plus tard, tu tentes ta chance ici : encore raté !
Les îliens, je ne sais pas, mais nos bénévoles (= qui le veulent bien) devaient être couchés à 0 h 07...

Adoncques, nous la joueras-tu façon Jean de La Fontaine ?
Le chat la belette et le petit lapin :
<< Grippeminaud le bon apôtre,
jetant des deux côtés la griffe en même temps,
Mit les plaideurs d'accord En les croquant l'un et l'autre. >>

       Yoshi
- Modérateur -

Acrobate23

Invité

Re : Derivée partielle et courbe paramétrée

Ah zut désolé, je m'excuse et clôture la demande sur bibmath.

Tres bonne journée.