Forum de mathématiques - Bibm@th.net

julD01

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analyse

Bonjour,

Je cherche à comprendre un détail non explliquée sur une solution succinte d'un exercice.

Soit $f \in \mathbb{O} (\bar D)$,

on cherche à majorer $|f(\exp(i\theta)| \leq \exp(\sin^2 \theta)$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$

on a : soit $g(z) = f(z).\bar {f(\bar z)}$. Alors  $|g(\exp(i \pi)| \leq f(exp(\sin^2 \theta)) . \bar {f(\bar {exp(\sin^2 \theta)})} \leq \exp$

Quelqu'un pourrait m'expliquer comment on trouver cette majoration.

Merci

Fred

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Re : analyse

Bonjour

  Je n'ai pas bien compris ce que tu as écrit, quelle inégalité on cherche à démontrer quelles informations on a sur f et ce que tu ne comprends pas.

F.

julD01

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Re : analyse

Bonjour,

On cherche à montrer que $|f(0)| \leq \sqrt{e}$.

concernant $f$, on sait que : $f \in \mathcal{O}(\mathbb{\bar D})$ et $|f(e^{i \theta})| \leq e^{\sin^2 \theta}$,  $0 \leq \theta \leq 2 \pi$

Du coup dans la résolution, on a défini une fonction $g(z)=f(z) \bar{f(\bar z)}$

(ps: je n'arrive pas à faire de long bar en latex)

Puis on remplacer l'expression de $g(z)$ et on l'a majoré par $e$ dans un premier temps.

c'est cette majoration que je ne comprends, c'est trop rapide et pas détaillé

Merci

Glozi

Invité

Re : analyse

Bonjour,
Je suis peut-être à côté de la plaque, mais j'aurais plutôt défini $g(z) = f(z)\overline{f(e^{i\pi/2}\overline{z})}$ (voire $g(z) = f(z)f(ze^{i\pi/2})$, il me semble que ça fonctionne aussi). C'est une fonction holomorphe. Et ensuite utiliser l'inégalité de Cauchy pour les fonctions holomorphes / propriété de la moyenne.
Bonne journée

julD01

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Re : analyse

Bonjour Glozi,

merci pour ta suggestion.
En effet ça a l'air de fonctionner aussi.

Bonne journée