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Vincent62

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extrema lié

Bonjour,

Je souhaite déterminer les extrema de l'application [tex]f(x,y)=(x-2)^2+(y-2)^2[/tex] lorsque que [tex]f[/tex] est restreinte au sous-ensemble défini par [tex]g(x,y)=x^2+y^2-1[/tex].

Pour cela, j'utilise la recette du cours sur les multiplicateurs de Lagrange.
Tout d'abord, l'application [tex]f[/tex] est [tex]C^1[/tex] sur [tex]\mathbb{R}^2[/tex] en tant qu'application polynomiale, et il en va de même pour l'application [tex]g[/tex].

On obtient alors que, pour tout [tex](x,y)\in \mathbb{R}^2 : df(x,y)=2(x-2)dx(x,y)+2(y-2)dy(x,y)[/tex] et [tex]dg(x,y)=2xdx(x,y)+2ydy(x,y)[/tex].

La condition d'extremum lié s'écrit donc [tex]df(x,y)=kdg(x,y)[/tex].
J'obtiens alors que [tex]x-2=xk[/tex] et [tex]y-2=yk[/tex], soit encore [tex]x(1-k)=2[/tex] et [tex]y(1-k)=2[/tex].

Bon, normalement, ici, je suis censé résoudre ce système et remplacer les solutions dans [tex]g(x,y)=0[/tex], c'est bien ça ?
Pour la résolution du système, je dirais que si [tex]k\neq 1[/tex], alors en divisant les deux égalités, on obtient que [tex]x=y[/tex].
Ainsi, [tex]g(x,x)=2x^2-1=0[/tex] et donc [tex]x=-\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] et [tex]x=\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex], et donc [tex](-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex] et [tex](\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex] sont les points à étudier pour [tex]f[/tex].

Qu'en pensez-vous ?

Merci et bonne journée :)

Dernière modification par Vincent62 (25-12-2022 12:38:33)

Fred

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Re : extrema lié

Bonjour,

  Ca a l'air bien parti!

F.

Vincent62

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Re : extrema lié

Super, merci Fred !

Vincent62

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Re : extrema lié

Bonjour,

Je reviens sur cet exercice que j'essaye de terminer.
Bon, je commence l'étude en [tex](x,y)=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex].

L'application [tex]f[/tex] étant [tex]C^2[/tex], par la règle de Monge, je trouve que [tex]r=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2[/tex], [tex]t=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2[/tex] et [tex]s=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0[/tex].
Ainsi, [tex]rt-s^2[/tex] est strictement positif et [tex]r[/tex] est strictement positif, et donc [tex]f[/tex] admet un minimum local strict en [tex](\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex].

S'agit-il maintenant d'un minimum global ? Je ne vois rien qui pourrait affirmer le contraire à partir de l'expression de [tex]f(x,y)[/tex].

Je pose donc [tex]u=x-\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] et [tex]v=y-\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex].
J'obtiens alors que :

[tex]f(u,v)-f(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})=u^2+v^2+u\sqrt{2}+v\sqrt{2}-4u-4v=(u+\frac{\sqrt{2}-1}{2})^2+(v+\frac{\sqrt{2}-1}{2})^2-(\sqrt{2}-4)[/tex].

Est-ce que je peux conclure que le signe de [tex]f(u,v)-f(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex] change donc (à cause du terme [tex](\sqrt{2}-4)[/tex]) ?

Merci pour vos éclaircissements !

Dernière modification par Vincent62 (29-12-2022 08:39:28)

Fred

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Re : extrema lié

Bonjour,

  Tu fais fausse route. On utilise les conditions du second ordre lorsqu'on étudie les extrema de f sur un ouvert de $\mathbb R^n$ (ici $\mathbb R^2$). Ici, tu étudies $f$ sur l'ensemble $K=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x^2+y^2=1\}$ qui n'est pas du tout ouvert.
Moi, je remarquerais plutôt que $K$ est un compact de $\mathbb R^2,$ et donc que $f$, qui est une fonction continue sur $K$, admet un minimum et un maximum sur $K$. Or, ce maximum (et ce minimum) ne peut être atteint qu'en  un des deux points que tu as décrit ci-dessus. Reste à voir qui est le maximum et qui est le minimum....

F.

Vincent62

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Re : extrema lié

Je vois, merci Fred !