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bridgslam

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structure uniforme

Bonjour,

J'aimerais à la fois vérifier ma preuve, tout en demandant s'il n'y a pas plus simple (en utilisant moins d'hypothèses).

Soit E un ensemble non vide.
Un filtre $\mathcal{U}$ sur ExE vérifie en plus que:

- A/   la diagonale de ExE est incluse dans tout $U \in \mathcal{U}$
- B/   si $U \in  \mathcal{U}$  alors $U^{-1} \in \mathcal{U}$
- C/  $\forall V \in \mathcal{U} \;\; \exists W \in \mathcal{U} \;\; WoW \subset V$

L'autre sens d'implication étant relativement facile, j'aimerais juste montrer avec le moins d'arguments possible qu'alors B et C impliquent :
D/     $\forall V \in \mathcal{U} \;\; \exists W \in \mathcal{U} \;\; WoW^{-1} \subset V$

J'ai procédé comme suit:
Soit $V \in  \mathcal{U}$ .  D'après C/ $\exists T \in \mathcal{U} \;\; ToT \subset V$
En posant $W = T \cap T^{-1}$, d'après B/ et que $\mathcal{U}$ est un filtre, $W \in \mathcal{U}$

Alors $WoW^{-1} = WoW \subset ToT$ donc $W$ répond à la question.

Ainsi le fait d'être un filtre avec les propriétés conjointes C/ et D/, on obtient D/.

J'ai la vague impression qu'il doit y avoir plus simple.

Bonne soirée.
A.

Dernière modification par bridgslam (22-12-2022 16:42:36)

Glozi

Invité

Re : structure uniforme

Bonjour,
Ca me rappelle les idées de preuves pour construire des jolis voisinages du neutre dans des groupes topologiques.

Je ne pense pas qu'il y ait beaucoup plus simple que ta preuve. En tout cas j'ai l'impression qu'on ne peut ni se passer de l'hypothèse B ni se passer de l'hypothèse C pour obtenir la conclusion D.
En effet posons $\mathcal{D} := \{(x,y)\in \mathbb{N}^2, x\leq y\}$. Et considérons le filtre sur $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ $\mathcal{F} := \{A\subset \mathbb{N}\times \mathbb{N} | \mathcal{D}\subset A\}$.

▼plus de détails

Alors $\mathcal{F}$ vérifie l'hypothèse C mais pas la B. En effet, $\mathcal{D}\circ \mathcal{D} = \{(x,y) \in \mathbb{N}^2 | \exists z, x\leq z \leq y\} = \mathcal{D}$. Et par ailleurs $\mathcal{D}^{-1} = \{(x,y) | x\geq y\}\not\in \mathcal{F}$.
On montre alors que $\mathcal{F}$ né vérifie pas la conclusion D car $\mathcal{D}\circ \mathcal{D}^{-1} = \{(x,y)| \exists z, x\leq z \text{ et }y\leq z\} = \mathbb{N}^2$ est trop gros.

Pour l'autre hypothèse, on peut considérer $\mathcal{E} := \{(x,y) | x\neq y\}$ et $\mathcal{F}=\{A\subset \mathbb{N}\times \mathbb{N} | \mathcal{E}\subset A\}$.

▼plus de détails

Alors $\mathcal{F}$ vérifie l'hypothèse B (car $\mathcal{E}^{-1} = \mathcal{E}$).
Mais ne vérifie pas l'hypothèse C (car $\mathcal{E}\circ \mathcal{E} = \{(x,y) |\exists z, x\neq z \text{ et } z \neq y\} = \mathbb{N}^2$ est trop gros.
On vérifie également que le filtre ne satisfait pas la conclusion D.

Sauf erreur(s),
Bonne journée

bridgslam

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Re : structure uniforme

Bonsoir,

Merci pour ta réponse.
En fait Bourbaki indique de façon très liminaire que B/ et C/ impliquent D/ sans autre forme de procès ( "il est évident que...").
Du coup, après une approche rapide en confiance et en me disant surtout que ça allait se faire en deux coups de cuiller à pot, la question m'est apparue plus profonde que prévue (et annoncée !), avec une certaine déconvenue.
De là  j'ai abouti à ce que j'ai posté et mon interrogation a été suscitée par le caractère "évident" annoncé.

Cependant  sans user des propriétés élémentaires des filtres ( càd avec juste B/ et C/ ) je ne vois pas du tout comment m'en sortir.
Ainsi je me suis demandé, sans chercher auprès de contre-exemples, si les propriétés de filtres étaient indispensables.

Le sujet concerne les notions d'entourages, l'analogue sans distance des parties $P_{\epsilon} = \{ (x,y) | d(x,y) < \epsilon \}$ quand on est dans un espace métrique, ce qui donne une notion d'uniforme continuité par la suite.
On le ressent déjà quand on évoque les diamètres ou même les modules de continuité dans les espaces métriques quand on touche à l'uniformité.
Bourbaki a le mérite de mettre les choses sur la table, en appelant un chat un chat.

Bonne fêtes
A.