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Vincent62

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Fonction C^1

Bonjour,

Je Je souhaite montrer que l'application f définie par [tex]f(x,y)=x \frac{sin(y)}{y}[/tex] si [tex]y\neq 0[/tex] et [tex]f(x,y)=0[/tex] si [tex]y=0[/tex] est de classe [tex]C^1[/tex] sur [tex]\mathbb{R}^2[/tex].

Bon, pas de problème pour montrer qu'elle est continue en tout point [tex](x,0)[/tex], et donc sur [tex]\mathbb{R}^2[/tex].

J'ai un problème par contre concernant les dérivées partielles.
Par exemple, en [tex](x,0)[/tex] avec [tex]x\in \mathbb{R}[/tex], j'obtiens que :

[tex]\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)=\lim_{t\to 0} \frac{f((x,0)+t(1,0))-f(x,0)}{t}=\lim_{t\to 0} \frac{f(x+t,0)-f(x,0)}{t}=0[/tex] car [tex]f(x+t)=0=f(x,0)[/tex].

D'autre part, pour tout [tex](x,y)\in \mathbb{R}^2[/tex] avec [tex]y\neq 0[/tex], on a : [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{sin(y)}{y}[/tex], et donc [tex]\lim_{y\to 0}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=1[/tex].

Qu'est-ce qui cloche dans mon raisonnement ?

Merci !