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rbrt29

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Critère de Dedekind-Hasse

Bonjour, voici un exercice d’algèbre sur lequel je bloque pour certaines questions.
Le but de cet exercice est de donner un exemple d’un anneau non euclidien mais principal.
Soit A un anneau euclidien et soit θ un stathme euclidien de A (ie, ∀z,w ∈ A avec w différent de 0, il existe q, r ∈ A tels que z = wq + r et   θ(r) < θ(w)).
a) Montrer que θ′ défini par θ′(x) = min{θ(xu) | u ∈ A*} munit A d’un nouveau stathme euclidien.
b) Montrer qu’on a ∀x ∈ A, ∀u ∈ A*, θ′(x) = θ′(xu).
c) Montrer que si u ∈ A*, alors θ′(u) = θ′(1). On note n_inv = θ′(1).
d) Montrer que pour x ∈ A, on a l’implication θ′(x) < n_inv ⇒ x = 0. (On pourra considérer x non nul tel que θ′(x) = min{θ′(y) | y ∈ A \ {0}}, et utiliser la division euclidienne de 1 par x pour montrer que x est inversible).
e) Montrer qu’il existe x ∈ A non inversible, tel que la restriction de la projection canonique p : A → A/xA à A× ∪ {0} soit surjective.
f) Etant donn ́e un anneau A et une fonction θ : A → N, le critère de Dedekind-Hasse est la condition suivante : soient z,w ∈ Z[α] tels que w soit différent de 0 et θ(z) ≥ θ(w). Alors, soit w divise z, soit il existe p, q, r ∈ Z[α] tels que pz − qw = r différent de 0 et θ(r) < θ(w) . Montrer que si θ est un stathme euclidien, alors ce critère est vérifié.
g) Montrer qu’un anneau muni d’une fonction θ : A → N satisfaisant le critère de Dedkind-Hasse est principal.

Je bloque à partir de la question c). Faut-il faire une méthode analogue à la question b) ?
Merci par avance.

Michel Coste

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Re : Critère de Dedekind-Hasse

Bonsoir,
c) est une conséquence assez immédiate de b).

rbrt29

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Re : Critère de Dedekind-Hasse

Voilà ce que j’ai mis :
Pour la question 1)c), comme d'après la question précédente on a 0'(x) = 0'(xu), on a  0'(1) = 0'(u) car 0' est un stathme et que u est l'élément neutre pour A (et que dans un anneau, tout élément non nul est simplifiable pour la multiplication).
PS : les « 0 » désignant les theta
Est-ce que c’est juste ?

Dernière modification par rbrt29 (21-12-2022 22:56:41)