Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Marvin007

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Représentation paramétrique de droite

Bonjour , j'envoi ce message car dans un exercice on m'a demander ceci :

Donner la représentation paramétrique de la droite (AB) dans le cas suivant:

A(-2,1,1) et B(-1,-1,-1) .

Et même si je sais comment faire lorsque je n'ai qu'un point, avec 2 points je suis un peu perdu je l'avoue...

Quelqu'un a-t-il une idée de la méthode ou formule à utilisé ici?

Merci d'avance

Gui82

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Re : Représentation paramétrique de droite

Bonjour,

Lorsque tu as 2 points A et B, une paramétrisation classique est : [tex](1-t)A+tB, \, t \in \mathbb{R}[/tex], ce que tu peux exprimer en termes de coordonnées.

Marvin007

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Re : Représentation paramétrique de droite

Bonjour,

Lorsque tu as 2 points A et B, une paramétrisation classique est : [tex](1-t)A+tB, \, t \in \mathbb{R}[/tex], ce que tu peux exprimer en termes de coordonnées.

Ah merci beaucoup!

Donc ça devrait donner : (1-t) (-2,1,1)+t(-1,-1,-1) = (-2+2t, 1-t  , 1-t)+(-t,-t,-t) = (-2+t,  1-2t , 1-2t )

vam

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Re : Représentation paramétrique de droite

Bonjour

perdu avec 2 points...
avec 2 points, calcule un vecteur !
et tu as alors un point et un vecteur ! :)

jpigrec2

Invité

Re : Représentation paramétrique de droite

Bonsoir,
Je tombe par hasard sur ce post et souhaite faire une réponse à Marvin007 et poser une question à Gui82.
Marvin007:
J'ai l'impression que tu es un élève de lycée qui traite un exercice donné par ton prof de maths. Dans ces conditions ce qu'aime un prof de maths c'est constater que ses élèves ont compris et appris le cours qu'il a donné. En l'occurrence donner la représentation paramétrique d'une droite de l'espace c'est donner pour tout point M(x,y,z) de cette droite le système (paramétrique) suivant :
x=m+ at
y=n + bt
z=p + ct
où (m,n,p) sont les coordonnées d'un point quelconque de cette droite, (a,b,c) les coordonnées d'un vecteur directeur de cette droite et t un nombre réel.
(remarque en passant : comme il y a une infinité de vecteurs directeurs d'une droite il y a donc une infinité de représentation paramétrique d'une droite ; et ici comme on donne 2 points de cette droite on pourrait dire qu’il y a une ''double'' infinité de représentation de cette droite).
Pour revenir à l’exercice, parmi l'infinité de vecteurs directeurs de la droite (AB) il y en a un relativement particulier : c'est le vecteur AB lui-même (ce qui semblait te poser problème d'avoir 2 points au lieu d'un seul ????) dont les coordonnées sont (1,-2,-2) et, en choisissant les coordonnées du point A (-2,1,1), on obtient bien ce que tu as calculé grâce à la formule magique de Gui2.
Gui2:
Merci de m'expliquer ce que c'est "une paramétrisation classique de 2 points A et B" et d'où sortent ces 2 paramètres (1-t) et t (si possible en restant au niveau lycée).
Merci et bonne soirée.

Bernard-maths

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Re : Représentation paramétrique de droite

Bonjour à tous !

Je vais répondre à jpigrec, à ma façon. Je note vAB, vMA ... les vecteurs AB et MA, le python ne tient pas encore dans ma tête ...

Dire que le point M appartient à la droite (AB) est équivalent à dire qu'il existe un réel t tel que vAM = t.vAB, par ex.

On a alors les équivalences suivantes : vAM = t.vAB <=> vAM = t.(AM + MB) <=> .. <=> (1-t).AM + t MB = vNul !

Cette dernière expression peut être appelée "paramétrisation classique" d'une droite ...

Si on passe par l'origine O du repère, on a aussi : ... <=> vOM = (1-t).vOA + t.vOB.

En France on en reste à cette écriture, mais les anglo-saxons (me semble t il) font fi du point O, et écrivent : M = (1-t) A + t B, tout court ! A la mode de Gui82 ...

Pour parler de cette définition paramétrique, on peut préciser l'emplacement du point M sur (AB) selon les valeurs prises par t : t = 1, M = A ; t = 0, M = B ; 0 < t < 1, M dans ]AB[ ; t > 1, M sur demie droite d'origine B ; t < 0 , M sur demie droite d'origine A.

Pour parler de la notation en points ... l'expression Q = P + vAB traduira le fait que vPQ = vAB, ou aussi que Q est l'mage de P par la translation de vecteur AB ! Cela peut être "pratique" dans certains cas, comme procédé mnémotechnique ...

Et voilà, sauf erreur ... A vous la parole !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-02-2023 15:50:10)

yoshi

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Re : Représentation paramétrique de droite

Re,

Le python ne tient pas encore dans ma tête ...

Je présume que tu voulais dire "Le LaTeX"...
Dans ce cas (T.D.A.R.S.A.QQ), voilà :
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$
- se reconnaît à sa flèche (arrow), dirigée vers la droite (right) et placée au dessus (over]
- on rassemble donc le tout : overrightarrow
- comme il s'agit d'une instruction (mot-clé), on met un antislash devant : \overrightarrow
- AB est composé de deux caractères :  ces deux caractères, pour être couverts par la flèche, doivent être insérés entre accolades {}
Et voilà comment s'écrit ton vAB : \overrightarrow{AB}...
Maintenant ton navigateur doit savoir que ce n'est pas un simple texte mais une formule à interpréter.
Dernière manipe : on encadre la formule par le symbole du dollar et le tour est joué...
On peut aussi sélectionner la formule puis cliquer sur l'icône T_EX, tout à gauche de la barre d'outils de rédaction des messages.
Donc \overrightarrow{AB}  avec un  dollar de chaque côté --> $\overrightarrow{AB}$
Sans les accolades voilà ce qui arrive :
\overrightarrow AB  avec un  dollar de chaque côté--> $\overrightarrow AB$

Il en est de même
* du surlignage :
\overline{AB}  avec un  dollar de chaque côté --> $\overline{AB}$
\overline AB avec un  dollar de chaque côté mais sans accolades --> $\overline AB$

* du soulignement
\underline{AB} avec un  dollar de chaque côté --> $\underline{AB}$
\underline AB avec un  dollar de chaque côté mais sans accolades --> $\underline AB$

* de la puissance
10^{12} avec un  dollar de chaque côté --> $10^{12}$
10^{12} avec un  dollar de chaque côté mais sans accolades --> $10^12$

* de la racine carrée :
\sqrt{123} avec un  dollar de chaque côté --> $\sqrt{123}$
\sqrt 123 avec un  dollar de chaque côté mais sans accolades --> $\sqrt 123$

NDLR :
Tu peux aussi utiliser \vec : \vec A  --> $ \vec A$ et \vec{AB} --> $\vec{AB}$... Pas aussi esthétique !

Histoire de flèche encore. Latex est - pour certains mots-clés - sensible à la casse :
\rightarrow avec un  dollar de chaque côté --> $\rightarrow$
\Rightarrow avec un  dollar de chaque côté --> $\Rightarrow$
\Leftarrow avec un  dollar de chaque côté --> $\Leftarrow$

On mixe les deux sens :
\leftrightarrow avec un  dollar de chaque côté --> $\leftrightarrow$
\Leftrightarrow avec un  dollar de chaque côté --> $\Leftrightarrow$
\longleftrightarrow avec un  dollar de chaque côté --> $\longleftrightarrow$
\Longleftrightarrow avec un  dollar de chaque côté --> $\Longleftrightarrow$

Ça y est Bernard, tu commences à piger le truc ?

@

Bernard-maths

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Re : Représentation paramétrique de droite

Merci Yoshi !

Il faut que je me fasse un répertoire des usages classiques, après ça viendra.

En attendant, que penses tu de ma réponse en #6 ?

Bernard-maths

yoshi

Modo Ferox

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Re : Représentation paramétrique de droite

Re,

Ça me parait simple et didactique : j'approuve...
Un petit dernier qui m'avait échappé : \vec 0  --> $\vec 0$
Le pendant - court et un peu bas de plafond - de \overline est \bar (pour les complexes, par exemple  --> $z+\bar z$)
Tu veux du classique ? Les fractions :

\frac 2 5 --> $\frac 2 5$  mais \frac 2 15 -->$\frac 2 15$. Les accolades c'est une philosophie : \frac{2}{15} -->$\frac{2}{15}$, un coup à prendre...

\cfrac 2 5 ou \dfrac 2 5  --> $\cfrac 2 5$ ou $\dfrac 2 5$

Ou des fractions à plusieurs niveaux :
\cfrac{1-\cfrac{2}{3}}{1+\cfrac{2}{3}} --> $\cfrac{1-\cfrac{2}{3}}{1+\cfrac{2}{3}}$ mais ça, c'est "assez" sportif à écrire...

----------------------------------------------------

On me signale et ça va t'intéresser : https://www.ilemaths.net/sujet-equation … msg8121670
Pourtant, là-bas ils ont ça : Pourquoi ne faut-il pas faire de multi-post ?
Il ne se passe pas un mois, sans que je sois obligé de jouer les pères fouettards, parfois c'est deux fois en une semaine...

Qu'est ce que ça peut m'agacer ceux qui ne voient pas où est le problème de manger à plusieurs râteliers !...
Là en l'occurrence et en prime, jpigrec a obtenu ici, une réponse qu'il a, à juste titre, trouvée trop laconique et au lieu d'interpeller son auteur pour lui faire part du fait qu'il restait sur sa faim et de le prier gentiment de faire ce que tu as fait, non, il a préféré changer de forum...
On est rentré dans l'ère de la zappette : réponse pas satisfaisante, au lieu de titiller - gentiment - l'auteur, on prend la zappette et on zappe sur un autre forum...
Pas vu, pas pris !?
(Rien à voir avec la formule choc, mais ça me rappelle Bedos (?) : Moi je vole dans les sébiles des aveugles, on m'a toujours dit : pas vu, pas pris...)
Raté !...
La confraternité des matheux existe...

@+

Bernard-maths

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Re : Représentation paramétrique de droite

Bonsoir yoshi !

Merci ...

Je comprends pourquoi Gui82 (?) ne donnait pas de réponse.  Et jpigrec, que fait-il ?

jpigrec2

Invité

Re : Représentation paramétrique de droite

Bonsoir Bernard-maths,
Merci de ta réponse #6 qui explique comment traiter la question posée d'une façon originale (du moins en France).
C'est étonnant que Marvin007 n'ait pas réagi à la réponse de Gui82 pour demander d'explication car ça m'étonnerait fort qu'un prof de lycée présente le calcul de la représentation paramétrique d'une droite passant par 2 points de cette façon ...
Bonne soirée.

Bernard-maths

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Re : Représentation paramétrique de droite

Bonjour à tous !

La notation "point" est naturellement utilisée par GeoGebra ! (et d'autres ?)

Ainsi : M = A + $ \vec u$ va construire M image de A par la translation de vecteur $ \vec u$.

Si de plus t est un curseur : M = A + t$ \vec u$ va déplacer le point M sur la droite (A, $ \vec u$).

Voilà quelques applications de cette notation "point", et des remarques de Yoshi ...

MAIS en réalité, dans GeoGebra $ \vec u$ ne porte pas de flèche ! On écrit simplement : M = A + u ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (14-02-2023 21:51:26)