Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

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Mesure de densité Exercice Bibmaths

Bonjour,

Je travaille l'exercice 4 de la fiche suivante https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

Pour la question 1, pour montrer l'additivité de la mesure, je comprends toutes les étapes du corrigé.
Par contre, c'est le passage de [tex]\sum_{n\ge 1} \int_E 1_{A_n}hd\mu = \int_E \sum_{n\ge 1}1_{A_n}hd\mu[/tex].

Comme indiqué, c'est une application du théorème de convergence monotone version série-intégrale.
Pour que ce théorème soit valide, il faut en particulier que [tex]\sum_{n\ge 1}\int_E |1_{A_n}h|d\mu[/tex] soit finie, c'est bien ça ?
On a :
[tex]\sum_{n\ge 1}\int_E |1_{A_n}h|d\mu=\sum_{n\ge 1} \int_E 1_{A_n}|h|d\mu=\sum_{n\ge 1} \int_{A_n} |h|d\mu[/tex].

Est-ce correct ? Et si oui, pourquoi cette quantité est-elle finie ? Je ne vois pas.

Merci d'avance pour vos retours :)

Michel Coste

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Re : Mesure de densité Exercice Bibmaths

Bonjour,
Les mesures dans l'histoire sont à valeurs dans [tex][0,+\infty][/tex] (l'infini compris), et il n'y a pas d'hypothèse de finitude dans la convergence monotone (on y parle de fonctions à valeurs dans [tex][0,+\infty][/tex]).

Vincent62

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Messages : 314

Re : Mesure de densité Exercice Bibmaths

Bonjour Michel,

Merci pour cette précision qui m'avait échappée. Il me semblait que pour appliquer l'interversion somme-intégrale, il fallait une condition de finitude sur la somme de l'intégrale considérée...
Ce n'est pas le cas ?

Je viens de comprendre : dans le théorème de convergence monotone, il suffit de considérer la série comme étant notre suite croissante de fonctions mesurables positives.

Dernière modification par Vincent62 (16-12-2022 19:32:55)