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Vincent62

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intégrale de Lebesgue et mesure

Bonsoir,

J'ai l'application [tex]f : (x,y)\to \frac{1}{x^2+y^2}[/tex]. On me demande de calculer [tex]\int_D f(x,y)d\lambda_{R^2}(x,y)[/tex] où [tex]D=\{(x,x)\in \mathbb{R}^2, x\in ]0;1[\}[/tex].

Alors j'ai essayé de montrer que [tex]\lambda_{\mathbb{R}^2}(D)=0[/tex] pour en déduire que l'intégrale est nulle.

Pour ce faire, puisque [tex]\lambda_{\mathbb{R}^2}=\lambda_{\mathbb{R}}\times \lambda_{\mathbb{R}}[/tex] (avec un cercle autour du [tex]\times[/tex]) alors :

[tex]\lambda_{\mathbb{R}^2}(D)=\int_{\mathbb{R}^2} 1_D (x,y)d\lambda(x)d\lambda(y)=\int_{\mathbb{R}}(\int_{\mathbb{R}}1_D(x,y)d\lambda(x))d\lambda(y)[/tex]

Et donc [tex]\lambda_{\mathbb{R}^2}(D)=\int_{\mathbb{R}} \lambda(\{(x,y),x=y=f(x)\}) d\lambda(y)=
\int_{\mathbb{R}} \lambda(\{f(x)\})d\lambda(y)=0[/tex] car [tex]\lambda(\{f(x)\})=0[/tex].

Ainsi, [tex]\lambda_{\mathbb{R}^2}(D)=0[/tex] et donc [tex]\int_D f(x,y)d\lambda_{R^2}(x,y)=0[/tex].

Voilà, est-ce correct d'après vous ? Est-ce qu'il manque des justifications ?

Merci !

Dernière modification par Vincent62 (15-12-2022 14:40:48)

Fred

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Re : intégrale de Lebesgue et mesure

Bonjour,

  Sur mon écran (un peu petit?) je n'arrive pas à lire la fin de ta grosse ligne, et je ne comprends pas ce qu'est $f$. Mais je crois que c'est en fait très facile. Quand tu appliquer le théorème de Fubini, tu dois obtenir ensuite
$$\int_\mathbb R\lambda(\{x\in \mathbb R:\ x=y\}d\lambda(y)$$
(tu ne peux calculer que $\lambda(E)$ avec $E$ une partie de $\mathbb R$, et quand tu écrit $\lambda(\{(x,y),\dots\})$, tu calcules $\lambda$ d'une partie de $\mathbb R^2$. Et puisque $\{x\in\mathbb R,\ x=y\}=\{y\},$ sa mesure de Lebesgue est bien entendu égale à $0$.

F.

Vincent62

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Re : intégrale de Lebesgue et mesure

Merci Fred pour ta réponse.
J'ai arrangé le texte.
Je comprends bien tes excplications, et je vois mon erreur.

Bon, finalement, on a bien :

[tex]\lambda_{\mathbb{R}^2}(D)=\int_{\mathbb{R}^2} 1_D (x,y)d\lambda(x)d\lambda(y)=\int_{\mathbb{R}}(\int_{\mathbb{R}}1_D(x,y)d\lambda(x))d\lambda(y)[/tex]

Or, [tex](x,y)\in D[/tex] équivaut à [tex]x=y[/tex] et donc [tex]\int_{\mathbb{R}}1_D(x,y)d\lambda(x))=\lambda(\{x\in ]0;1[, x=y\})=\lambda(\{y\})=0[/tex].

C'est bien ça ?

Concernant les hypothèses pour pouvoir appliquer le théorème de Fubini, il faut vérifier que pour tout [tex]x\in ]0;1[[/tex], [tex]y\to 1_D(x,y)[/tex] est mesurable, et que [tex]x\to \int_{\mathbb{R}}1_D(x,y)d\lambda(y)[/tex] est mesurable, et idem pour l'autre composante, c'est bien ça ?

Dernière modification par Vincent62 (15-12-2022 14:56:08)

Fred

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Re : intégrale de Lebesgue et mesure

Re-

Oui, c'est bien ça. Pour appliquer le théorème de Fubini, il vaut vérifier que $(x,y)\mapsto 1_D(x,y)$ est mesurable pour la mesure produit, ce qui est évident car $D$ est une partie mesurable de $\mathbb R^2.$

F.

Glozi

Invité

Re : intégrale de Lebesgue et mesure

Bonjour,
Petite précision, le théorème de Fubini peut s'énoncer comme suit :

On se donne $(X, \mathcal{X}, \mu)$ et $(Y, \mathcal{Y}, \nu)$ deux espaces mesurés avec $\mu$, $\nu$ des mesures $\sigma$-finies (c'est une hypothèse qui permet de simplifier un peu l'énoncé, notamment cela permet d'avoir l'unicité de la mesure produit $\mu\times \nu$).
On se donne $f : X\times Y \to \overline{\mathbb{R}}$ une fonction mesurable (pour la tribu produit sur $X\times Y$).
Alors le théorème se décline en deux versions :

Fubini Tonelli : Si $f$ est à valeurs positives (dans $[0,\infty]$), alors $x\mapsto \int_Y f(x,y)\nu(dy)$ et $y\mapsto \int_X f(x,y)\mu(dx)$ sont mesurables (pour $\mathcal{X}$ et $\mathcal{Y}$), et de plus $\int_{X\times Y}f(x,y)d(\mu\times \nu)(x,y) = \int_X \int_Y f(x,y)\nu(dy)\mu(dx) = \int_Y \int_X f(x,y)\mu(dx)\nu(dy) \in [0,\infty]$.

Fubini / Fubini Lebesgue : Si $\int_{X\times Y}|f(x,y)|d(\mu\times \nu)(x,y) <\infty$ ($f$ intégrable pour $\mu\times \nu$), alors $x\mapsto \int_Y f(x,y)\nu(dy)$ et $y\mapsto \int_X f(x,y)\mu(dx)$ sont mesurables et intégrables (pour $\mathcal{X}, \mu$ et $\mathcal{Y},\nu$), et de plus $\int_{X\times Y}f(x,y)d(\mu\times \nu)(x,y) = \int_X \int_Y f(x,y)\nu(dy)\mu(dx) = \int_Y \int_X f(x,y)\mu(dx)\nu(dy) \in \mathbb{R}$.

Du coup, ça ne sert à rien de vérifier que $x\mapsto \int_Y f(x,y)\nu(dy)$ est mesurable, c'est déjà dans la conclusion du théorème. Par ailleurs, cela ne suffit pas de dire que $(x,y)\mapsto f(x,y)$ est mesurable pour la mesure produit. Il faut également dire que $f$ est à valeurs positives pour appliquer Fubini Tonelli, ou sinon que $f$ est intégrable pour appliquer Fubini Lebesgue.

Dans ton cas $\mathbb{1}_D$ est mesurable comme l'a dit Fred et est positive donc Fubini Tonelli fait l'affaire.

Remarque : pour vérifier l'hypothèse d'intégrabilité de Fubini Lebesgue, on fait parfois/souvent appel à Fubini-Tonelli.

Bonne journée