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Vincent62

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isomorphisme de groupes

Bonjour,

Je souhaite montrer que [tex](\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}},+)[/tex] et [tex](\frac{\mathbb{R}}{2\pi \mathbb{Z}},+)[/tex] sont isomorphes.

J'ai considéré l'application [tex]f : (\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}},+)\to (\frac{\mathbb{R}}{2\pi \mathbb{Z}},+), t+\mathbb{Z}\to t+2\pi \mathbb{Z}[/tex] et j'ai montré que c'était un isomorphisme de groupes.

Est-ce correct ? Peut-on le voir autrement ?

Merci :)

Dernière modification par Vincent62 (12-12-2022 05:26:14)

Fred

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Re : isomorphisme de groupes

Bonjour

  Je serais curieux de voir ta démonstration car je ne pense pas que cette application soit un isomorphisme de groupe.

F.

bridgslam

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Re : isomorphisme de groupes

Bonjour,

Moi j'aurais plutôt pris $cl_1 (t) \rightarrow cl_{2\pi} (2\pi t) $ en montrant d'abord que cela a un sens ( ce qui est liminaire ).

A.

Vincent62

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Re : isomorphisme de groupes

Bonjour,
Effectivement Fred, ça ne marche pas.
Je vais essayer bridgslam.

Vincent62

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Re : isomorphisme de groupes

J'ai pensé à ceci en relisant un exercice corrigé de mon cours.

En considérant f : (R,+) [tex]\to[/tex] (U,x), t[tex]\to e^{2i\pi t}[/tex] avec [tex]U=\{z\in \mathbb{C}, |z|=1\}[/tex], alors par le théorème de factorisation, R\Z est isomorphe à U.

En considérant g : (R,+) [tex]\to[/tex] (U,x), [tex]t\to e^{it}[/tex] avec [tex]U=\{z\in \mathbb{C}, |z|=1\}[/tex], alors par le théorème de factorisation, R\2[tex]\pi[/tex]Z est isomorphe à U.

Finalement, R/Z ets isomorphe à R\2[tex]\pi[/tex]Z.

Fred

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Re : isomorphisme de groupes

Oui, et l'isomorphisme que tu obtiens est exactement celui que bridgslam a décrit....
Un autre moyen était de considérer $\mathbb R\to\mathbb R/2\pi \mathbb Z,\ t\mapsto \overline{2\pi t}$ et de lui appliquer le théorème de factorisation (ou premier théorème d'isomorphisme, je ne sais pas comment c'est intitulé dans ton cours!)

A+
F.

Vincent62

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Re : isomorphisme de groupes

Merci Fred, ça marche aussi, je viens d'essayer :)