Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Collateral_

Membre

Inscription : 18-09-2021

Messages : 24

Theoreme de continuité sous l'integrale

Bonjour dans le cadre de theorie de la mesure, j'ai lu la correction d'un exercice classique mais je n'ai pas compris le mode operatoire:

Je dois montrer que:

     G(a,b)=    [tex] \int_0^{+\infty}\,g((a,b),y)\,dy [/tex]

                ou g((a,b),y)=[tex]\frac{exp(-ay^2)-exp(-by^2}{y}\ [/tex]

a,b des réel>0  et y dans R+.

Le problème est que pour montrer que G(a,b) est bien definie, il faut montrer que g est mesurable et trouver une majoration de l g l  par une

fonction intégrable de R+ dans R+. Ainsi g sera integrable et donc G(a,b) sera bien definie mais en tentant de majorer g, j'ai trouver une

majoration par y/2 ce qui n'est pas intégrable.

En lisant la correction, je vois qu'ils regardent directement ce qu'il se passe lorsque y tend respectivement vers 0 et +inf (je n'ai pas bien

compris pourquoi on fais cela car dans le theoreme on parle de la limite mais de celle du parametre), ils arrivent dire que f est prolongeable

en 0 par continuité (en faisant le dl en 0 on trouve y(b-a)), puis on utilise la regle de riemann pour montrer qu'au voisinage de +inf, on a

g=o(1/t^2). Une fois cela dit, ils disent que par conséquent la fonction est intégrable ( parceque elle diverge pas en 0 et inf ?) et que donc

G(a,b) est bien definie.

Cependant je ne comprend pas pourquoi on se passe de majorer lg((a,b),y)l par g(y) comme dans l'hypothese du théoreme. Il y a surement

quelque chose qui m'echappe, montrer que g est prolongeable par continuité en 0 et montrer qu'en +inf ca converge suffit a dire que la

fonction est integrable ? Je comprend que l'aire sous la courbe de g soit finie mais c'est sur un intervalle de longueur infinie ?

Ou devrais-je tout simplement revetir mon plus beau bonnet d'âne, abandonner la theorie de lebesgue, et aller danser le ndombolo en place publique?

Merci a tout les participants de ce forum, vous avez toujours su eclaircir ma vision.

[Edit Fred : J'ai enlevé les espaces après les crochets [  pour que la balise tex soit prise en compte]

Dernière modification par Collateral_ (12-12-2022 17:39:44)

Glozi

Invité

Re : Theoreme de continuité sous l'integrale

Bonjour,
Ton latex passe mal, il faudrait résoudre le problème.
Si j'ai bien compris tu as deux paramètres $a,b>0$ et tu considères
$G(a,b) = \int_0^\infty \frac{e^{-ay^2} - e^{-by ^2}}{y}dy.$
Posons $g_{a,b}(y) = \frac{e^{-ay^2} - e^{-by ^2}}{y}$.
Alors ce qu'on dit c'est juste que $g_{a,b}$ est a priori juste une fonction continue (de $y$) sur $]0,\infty[$.
Déjà on voit qu'on peut la prolonger par continuité en $0$ donc $g_{a,b}$ est une fonction continue sur $[0,\infty[$.
Puisque $g_{a,b}(y) = O(\frac{1}{y^2})$ lorsque $y\to \infty$ alors l'intégrale de $0$ à $\infty$ de $g_{a,b}$ est bien définie (critère de Riemann).

J'ai un doute sur l'endroit où tu coinces ? Est-ce que tu cherche une preuve du critère de Riemann ?
Tu parles de majorer $|g_{a,b}(y)|\leq g(y)$ (avec j'imagine $g$ qui ne dépend pas de $a$ et $b$ ?) cela est de la domination et ça peut être utile pour étudier la continuité de $(a,b)\mapsto G(a,b)$ mais ce n'est pas du tout nécessaire pour montrer que $G(a,b)$ existe.

Par ailleurs supposons que $\forall a,b>0 \forall y >0, |g_{a,b}(y)|\leq g(y)$. Alors avec $a=1/y^2$ et $b=2/y^2$ on voit que forcément $\forall y>0,  g(y) \geq \frac{C}{y}$ et donc $g$ ne sera jamais intégrable sur $]0,\infty[$.

Bonne journée

Collateral_

Membre

Inscription : 18-09-2021

Messages : 24

Re : Theoreme de continuité sous l'integrale

Merci beaucoup pour votre réponse, je comprend mieux, en fait ce qui me posait problème c'etait que dans la démonstration du théorème du

cours, on utilisait l'hypothèse ii) qui donne la mesurabilité et iii) qui donne la domination par une fonction ne dependant pas du paramètre ((a,b) ici) et qui donne finalement l'intégrabilité.

Et en fait, je pensais qu'il fallait obligatoirement dominé g((a,b),y) par une fonction ne dependant plus de (a,b), mais je suis forcé de

constaté apres ce que vous m'avez expliqué hier, que la fonction g est bien integrable

Merci beaucoup pour votre réponse

Glozi

Invité

Re : Theoreme de continuité sous l'integrale

En fait pour montrer qu'une intégrale existe, on s'en fiche complètement qu'elle dépende d'un paramètre, on fixe le paramètre (voilà il est fixé, c'est une constante) et on étudie si la fonction $f=g_{a,b}$ est intégrable (encore une fois $a$ et $b$ sont fixés !).

En revanche quand on veut faire de la convergence dominée, ou de la continuité sous l'intégrale c'est qu'on sait déjà qu'on a une famille d'intégrales indexées par un paramètre (on a donc déjà vérifié que toutes ces intégrales existent bien). Ici pour chaque couple $(a,b)$ on a une intégrale $G(a,b)$, et pour appliquer nos théorèmes il faut parfois dominer l'intégrande $g_{a,b}$ uniformément par rapport au paramètre $(a,b)$ par une fonction intégrable (ne dépendant pas du paramètre).

Ce que tu racontes dans ton premier message semble correspondre à la première étape : montrer que pour tout $(a,b)$ fixé, alors $G(a,b)$ est bien défini.

PS: merci Fred pour avoir éditer le message original avec les balises tex :)

Bonne soirée

Collateral_

Membre

Inscription : 18-09-2021

Messages : 24

Re : Theoreme de continuité sous l'integrale

Merci beaucouo pour votre reponse, je comprend mieux, et oui pour montrer que F(a,b) est bien defini vu que l’on integre en fonction de x il faut bien montrer que lorsque qu’on fixe le parametre (a,b), la fonction de x qui en resulte est bien integrable.

Cependant je me permet de vous poser une question supplémentaire, au vu de l’aisance déconcertante que vous avez en la matiere, j’ai cherché mais je ne vois pas:

En gardant la meme fonction on demande de calculer,
G(a,a), qui vaut zero, ouf jai reussi ca au moins,

Ensuite on demande de montrer que G admet des derivees partielles( derivees partielles car on peut voir g(a,b) comme une fonction de deux variable.

Pour ce faire je dis que g est differentiable (differences deux exponientielles divisé par une constante differente de 0)

Je dis donc que les dérivées partielles existent et je les majore les deux par 1/y )

je calcule les deux derivees partielles de G(a,b)

et ensuite on dis d’en deduire l’expression de G(a,b),
mais quel est l’interêt de cet demarche vu qu’on a deja l’expression de G(a,b)

Je me doute bien qu’il y a un but (qui m’echappe) l’exercice mais apres avoir plus que sécher dessu je me rend et je m’en remet a vous

Glozi

Invité

Re : Theoreme de continuité sous l'integrale

Bonjour,

Il faut mettre de l'ordre dans tout ça et être méthodique :
Essaye d'énoncer le théorème de dérivation sous le signe intégral (en adaptant les notations pour que ça colle avec le problème actuel) on veut une liste avec toutes les hypothèses.
Ensuite parmi ces hypothèses du théorème lesquelles peut-on facilement vérifier ? Lesquelles posent un problème ?
Quelle est la conclusion donnée par le théorème ?

Peux tu me dire ce que tu as trouvé pour $\frac{\partial G}{\partial a}(a,b)$ par exemple ?
Normalement c'est une intégrale que tu es capable de calculer (trouver une formule simple sans le symbole $\int$)

D'ailleurs lorsqu'on te dit de trouver l'expression de $G(a,b)$ souvent cela veut dire de trouver une formule pour $G(a,b)$ qui ne fait pas intervenir de symbole d'intégrale.

(c'est comme lorsqu'on dit de calculer $S_n = \sum_{k=1}^n k$, un élève pourrait répondre "ça vaut $\sum_{k=1}^n k$" mais la réponse attendue est certainement quelque chose du genre $S_n = n(n+1)/2$ plus "simple" et sans le symbole $\sum$).

Bonne journée

Collateral_

Membre

Inscription : 18-09-2021

Messages : 24

Re : Theoreme de continuité sous l'integrale

Oui jai un memento de ces theoremes il faut que je soit plus methodique mais je bloque quand meme sur certaines question car je ne vois pas le lien avec les précédentes.

Par exemple ici pour la derivee partielle de G par rapport à « a » je trouve -1/2 et 1/2 par rapport a l’autre

Et daccord du coup je comprend mieux ce qui est entendu par deduire l’expression, cest comme dans les series etc.(je suis stupide cest logique)

Et donc je comprend mieux enfin je penses, la il faudrais donc une fois les expression des deux derivee partielle exprimée, ecrit G’(a,b) (qui est donc une diffentielle et donc on fais la somme des deux derivees partielles)

Ainsi jai G’(a,b)(h)=-(1/2)*h1 +(1/2)*h2
en integrant (par rapport à a et b)on obtient
G(a,b)=-(1/2)a + (1/2)b ?

D’ailleurs je ne suis pas sur qu’en ecrivant la différentielle comme cela jai de le droit d’integrer par rapport à a et b separement les derivees partielles.

En tout cas merci beaucoup Glozi je comprend mieux

Glozi

Invité

Re : Theoreme de continuité sous l'integrale

Tu as $G(a,b) = \int_0^\infty g(a,b,x)dx.$
Avec $g(a,b,x) = \frac{e^{-ax^2}-e^{-bx^2}}{x}$.

Pourvu que les hypothèses de ton théorème soient vérifiées (je te laisse en faire la liste et essayer de les vérifier une par une).
Alors tu as $\frac{\partial G}{\partial a}(a,b) = \int_0^\infty \frac{\partial g}{\partial a}(a,b,x)dx$.
Ici $\frac{\partial g}{\partial a}(a,b,x) = \frac{-x^2e^{-ax^2}}{x} = -xe^{-ax^2}$.

Ainsi $\frac{\partial G}{\partial a}(a,b)$ ne vaut pas $1/2$ il faut reprendre tes calculs.

Ne pas se faire piéger par rapport à la variable selon laquelle on dérive, on intègre (ce n'est pas la même...)

À la fin tu devrais trouver quelque chose du genre
$\frac{\partial G}{\partial a}(a,b) = f_1(a)$
$\frac{\partial G}{\partial b}(a,b) = f_2(b)$
avec $f_1$ et $f_2$ des fonctions continues.

Supposons que tu aies trouvé une fonction $H$ (explicite et jolie) qui vérifie également
$\frac{\partial H}{\partial a}(a,b) = f_1(a)$
$\frac{\partial H}{\partial b}(a,b) = f_2(b)$
Alors tu peux essayer de montrer que $G-H$ est une fonction constante et en déduire l'expression sympa de $G$.

Bonne journée

Collateral_

Membre

Inscription : 18-09-2021

Messages : 24

Re : Theoreme de continuité sous l'integrale

Un grand merci a vous Glozi je vais tenter de conclure merci beaucoup

Collateral_

Membre

Inscription : 18-09-2021

Messages : 24

Re : Theoreme de continuité sous l'integrale

Apres avoir refait les calculs je trouve:

H(a,b)=ln((b/a)^1/2))

Et donc comme H et G on les meme derivee partielles elle ont les meme differentielles en un point et donc ca vaut tout le temps 0

Comment avez vous eu l’idee de sortir ce H ?

En fait j’ai limpression qu’on calcule les derivees partielle de dG(a,b)/da et dG(a,b)/db

et qu’ensuite (apres les avoirs intégrés), on obtient
dG(a,b) et pour trouver G(a,b) on integre simplement
dG(a,b) .

Dans notre cas je trouve que dG = dH et donc
G-H est bien une constante

Mais comment en déduire une expression de G ?

je suis tombe sur une question de la sorte, la fallait montrer que F’(y) +2yF(y) =1, chose que jai reussi a montrer mais il disais juste apres: en deduire que F(y) =

Je ne vois pas ce qui me permet de deduire une expression de G(a,b), est-ce un theoreme? Est-ce trivial?

Merci infiniment Glozi encore de prendre de votre temps pour me répondre

Glozi

Invité

Re : Theoreme de continuité sous l'integrale

Tu as une expression $H(a,b)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{b}{a}\right)$. Et tu sais qu'il existe une constante $C$ telle que
$\forall a,b>0, G(a,b)=H(a,b)+C$ (car la différentielle de la différence entre $G$ et $H$ est nulle (sur un connexe)). Il ne reste plus qu'à trouvé la valeur de la constante $C$ la plupart du temps cela se fait en calculant $G(a,b)$ et $H(a,b)$ pour une valeur particulière du couple $(a,b)$ (indice : on t'a demandé de calculer quoi avant ?)

En gros quand tu as une équation différentielle (ici c'était plutôt une équation aux dérivées partielles mais la philosophie est la même) du genre $F'(y) + 2yF(y)=1$ alors tu peux utiliser toute la machinerie des équations différentielles pour la résoudre dans le cas général (équation homogène, solution particulière etc...) Puis on calcule les éventuelles constantes via des valeurs particulières de notre fonction ou d'autres informations qu'on a sur notre fonction.

Comment j'ai introduit $H$ ? En fait si on y réfléchit je t'ai juste demandé de trouvé une solution particulière de l'EDP (équation aux dérivées partielles) $\frac{\partial H}{\partial a}=f_1, \frac{\partial H}{\partial b}=f_2$, l'ensemble des solutions homogène est juste l'ensemble des fonctions constantes.

Bonne soirée