Forum de mathématiques - Bibm@th.net

max155

Membre

Inscription : 12-12-2022

Messages : 2

Vecteurs liées avec formes linéaires alternées ?

Bonjour à tous,

Je bloque depuis plusieurs jours sur un exercice et je ne trouve pas beaucoup de ressources concernant les formes linéaires alternées sur internet.

Voici l'énoncé :

J'ai déjà réussi la question a), mais la question b) je n'y arrive pas.

Je sais qu'il doit avoir quelque chose en lien avec le déterminant, et si ce dernier est nul, alors la famille est liée. Je sais aussi que si deux vecteurs sont liés dans une application multilinéaire alors l'application vaut 0. Autrement dit f(v1,v2)=0 ssi v1 et v2 sont liés.

Or c'est là que j'ai un problème :
Ici je n'ai pas l'expression de Beta1 ni de Beta2, et en plus, je peux même pas évaluer Beta1(u,v,w) car Beta1 est une forme linéaire de degré 2, donc ne prend que 2 vecteurs en entrée, pas 3...

Je dois passer à côté de quelque chose.

Est-ce-que quelqu'un peut m'éclairer s'il vous plaît ?

Merci :)

Dernière modification par max155 (12-12-2022 15:58:47)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Vecteurs liées avec formes linéaires alternées ?

Bonsoir,

Peut être peux-tu essayer en reprenant la définition de famille libre. Si $x=au+bv+cw=0$ alors que donnent $\beta_1(u,x)$, $\beta_1(v,x)$ et $\beta_1(w,x)$ ?

Roro.

max155

Membre

Inscription : 12-12-2022

Messages : 2

Re : Vecteurs liées avec formes linéaires alternées ?

Merci pour la réponse :)

En effet je n'avais pas pensé à faire cela !
J'ai calculé et j'ai obtenu ces résultats :
$\beta_1(u,x)$ = 3a-c
$\beta_1(v,x)$ = 2c-3a
$\beta_1(w,x)$ = a-2b

Mais ensuite je ne sais pas quoi faire ?

Je ne me suis pas servi de $\beta_2$ par ailleurs.

Dernière modification par max155 (12-12-2022 18:26:46)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Vecteurs liées avec formes linéaires alternées ?

Re,

Tu as fais le calcul, très bien mais vois-tu pourquoi tu l'as fait ?

D'après la définition, une famille $(u,v,w)$ est libre si $au+bv+cw=0 \Longrightarrow a=b=c=0$.

Avec ce que tu as calculer, est ce que tu peux arriver à en déduire que si $au+bv+cw=0$ alors $a=b=c=0$ ?

Roro.

P.S. Je ne vois pas ce que vient faire $\beta_2$ mais comme on n'a qu'une partie de l'exercice...

Dernière modification par Roro (12-12-2022 21:47:05)