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Amine542

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Egalité de déterminant

Soient A,B,C,D des matrices de Mn(C) telles que D et C commutent. Après avoir prouvé qu'il existe un p0 entier naturel non nul tel que pour tout p > = p0, D + 1/p In est inversible, on souhaite déterminer l'égalité suivante :

J'ai essayé de m'inspirer du calcul de la première question en remplaçant D par D + 1/p In et -C par -pC mais cela n'a rien donné, je sais qu'il faut arriver à une ligne du type det(A B C D)det(D+ 1/p In) = det(D + 1/p In)det(AD - BC) mais je ne vois pas du tout comment y arriver avec un calcul du même type que la question 1

Merci d'avance de votre aide

Glozi

Invité

Re : Egalité de déterminant

Bonjour,
Si j'ai bien compris tu as montré que
$\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix} = \det(AD-BC)$ lorsque $D$ est inversible et que $C$ et $D$ commutent.
Maintenant supposons toujours que $C$ et $D$ commutent, mais $D$ n'est pas forcément inversible. Posons $D_p = D + \frac{1}{p}I_n$.
Que peux tu dire de $\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D_p\end{pmatrix}$ lorsque $p$ est assez grand ? Est-ce que tu peux passer à la limite quand $p\to \infty$ ?
Bonne journée