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Junior ste

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EVT: dualité et transposition

Salut.
https://www.cjoint.com/c/LKrkE68DLlQ
J'ai besoin de vos différentes idées pour faire la dernière question de cet exercice.
Voici ce que j'ai fait pour les questions précédentes
https://www.cjoint.com/c/LKrk44Q2myQ

Dernière modification par Junior ste (17-11-2022 11:59:33)

Junior ste

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Re : EVT: dualité et transposition

Salut.
Je reviens d'un très long voyage....en pour cette question fallait juste remarquer que lorsque un ELC est séparé parmis les semi-normes qui définissent sa topologie on y trouve les normes...ainsi nous pouvons appliquer aisement le Théorème de Hahn Banach
Merci.

Dernière modification par Junior ste (09-12-2022 04:24:21)

Junior ste

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Re : EVT: dualité et transposition

Sans trop m'atarder SVP pouvez vous me donner une relation dans un espace vectoriel topologique de dimension finie entre une partie finie et une partie bornée ???

Fred

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Re : EVT: dualité et transposition

Bonjour,

  Une partie finie est bornée. La réciproque est fausse.

F.

Junior ste

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Re : EVT: dualité et transposition

Salut.
Merci pour le rappel Fred car cela est vrai même si nous ne sommes pas en dimension finie ....mais mon problème était de voir si en dimension finie une partie borné contient t'elle une partie bornée pour pouvoir ensuite passer au polaire des ensembles...... qui n'est pas probablement vrai........penser comme ceci ne m'a pas permis de débloquer l'exercice mais j'ai trouvé une autre approche qui marche bien.

Dernière modification par Junior ste (11-12-2022 04:32:18)

Junior ste

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Re : EVT: dualité et transposition

Et sans trop tarder toujours comment voir que si A est une partie convexe d'un espace vectoriel topologique X tout point interne à A est interieur à A.
En effet un point a appartenant à X est dit interne à A si A-a est absorbant.
Svp j'attends vos différentes suggestions merci.

Fred

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Re : EVT: dualité et transposition

Bonjour

  Es-tu sûr de ton énoncé???
Parce que, quitte à translater, cela revient à dire que dans un espace vectoriel topologique,
si C est un convexe absorbant, alors $0$ est dans l'intérieure de $C$.

Maintenant, si je considère la topologie grossière sur $\mathbb R^2$ (les seuls ouverts sont $\varnothing$ et $\mathbb R^2$),
et si je prends pour $C$ la boule unité pour n'importe quelle norme, alors $C$ est absorbant mais n'est pas un voisinage de $0$ du tout...

Je pense donc qu'il faut ajouter au moins des hypothèses....

F.