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Collateral_

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Limite theoreme convergence dominée

Bonjour, il y a quelque chose que je ne comprend pas avec l'integrale de lebesgue, j'avais une limite a calculer:
           
                        lim quand n tend vers +inf de Integrale(0,1) (1/sqrt(x))*sin(1/nx) dL.   

donc pour faire j'ai utilisé le theoreme de convergence dominée en montrant la convergence ponctuelle vers 0 presque partout

puis j'ai utilisé 1/sqrt(x) pour dominé la suite de fonction. Et c'est la que je dis au prof vu que l'integrale generalisée de 0 a 1 de 1/sqrt(x)

converge et que puisque l'integrale de riemann et de lebesgue coincident, on a que 1/sqrt(x) est lebesgue integrable (et donc on avais toutes les conditions du theoreme)

Et puis le prof me dis que oui mais non et me dis que:   int(0,1) 1/sqrt(x) dl =lim  int(1/n , 1) 1/sqrt(x) * indicatrice(1/n,1)dl

je n'ai pas compris pourquoi il fallait reecrire la fonction comme cela, sachant que ce n'est pas une fonction étagée puisque x varie, le prof

a ecrit cela pour montrer le lien entre les deux integrales mais je n'ai pas bien compris.

Merci de m'avoir lu

Glozi

Invité

Re : Limite theoreme convergence dominée

Bonjour,
Pour moi ta rédaction était bien, le problème c'est comment justifier que $\int_{]0,1]}\frac{1}{\sqrt{x}}\lambda(dx) <\infty$ ?
Tu dis que cela provient du fait que l'intégrale de Riemann et Lebesgue coincident (lorsque par exemple l'intégrale de Riemann est bien définie).

Le soucis c'est que l'intégrale de Riemann n'est définie a priori que pour des fonctions continues (ou continue par morceaux) sur des segments $[a,b]$. Puisque $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ n'est pas continue par morceaux sur $[0,1]$ on ruse et on définit l'intégrale de Riemann $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$ comme la limite de $\int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$ (lorsque $\varepsilon \to 0$)

Pour Lebesgue on définit dès le début $\int_{]0,1]}\frac{1}{\sqrt{x}} \in [0,\infty]$ notons que par le théorème de la limite monotone alors on a bien
$\int_{]0,1]}\frac{1}{\sqrt{x}}\lambda(dx) = \lim_{n\to \infty}\int_{[1/n,1]}\frac{1}{\sqrt{x}}\lambda(dx).$

Ainsi pour conclure que $\int_{]0,1]}\frac{1}{\sqrt{x}}\lambda(dx) = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$ il suffit de voir que pour tout $\varepsilon > 0$ alors $\int_{[\varepsilon,1]}\frac{1}{\sqrt{x}}\lambda(dx) = \int_\varepsilon^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$.

C'est à dire il suffit de vérifier que l'intégrale de Riemann et de Lebesgue d'une fonction continue sur un segment coincident, (ce qu'on peut voir par encadrement avec des fonctions en escalier par exemple).

Bref, si j'ai bien compris ton prof vous montre que l'intégrale de Lebesgue coincide avec l'intégrale de Riemann même si c'est une intégrale sur autre chose qu'un segment (ce qui est intuitif mais pas forcément évident vu les définitions des deux intégrales)

(NB : on avait déjà discuté de ce sujet ici : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15418)

Bonne soirée

Collateral_

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Re : Limite theoreme convergence dominée

Daccord je pense mieux comprendre, en fait pour avoir cette correspondance entre les deux integrale ( appelons g int 1/srqt(x))

vous remarquez que g (qui est donc une integrale) est limite des gn(x) (suite dintegrale)

puis vous faites correspondre gn(x) a son integrale de riemann ou tout va bien sur le compact (epsilon,1) puis par passage a la limite grace

au theoreme de convergence monotone (les fonction sont a valeur positive car c'est des integrales), on obtient le resultat voulu?

En tout cas merci pour votre réponse qui respire la clarté et la rigueur, je pense mieux comprendre

Glozi

Invité

Re : Limite theoreme convergence dominée

Je ne sais pas si ton $g$ est une intégrale de Riemann ou de Lebesgue ?
Pour résumé, on a en posant $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$,
$$\int_{]0,1]}f(x)\lambda(dx) = \lim_n \int_{[1/n,1]}f(x)\lambda(dx) = \lim_n \int_{1/n}^1f(x)dx = \int_0^1 f(x)dx.$$
La 1ère inégalité est juste une application du théorème de convergence monotone (tu as bien justifié son utilisation). Attention le théorème de convergence monotone concerne l'intégrale de Lebesgue.
La 2ème inégalité vient du fait que les intégrales de Lebesgue et Riemann coincide pour une fonction continue sur un segment.
La 3ème inégalité est vraie par définition de l'intégrale de Riemann de $f(x)$ sur $]0,1]$ (attention $f$ n'est pas continue par morceaux sur $[0,1]$).
J'espère que ça s'éclaircit ?

Collateral_

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Re : Limite theoreme convergence dominée

Oui, je parlais bien de g comme de l'integrale de lesbesgue (qui est celle de la domination), oui merci donc c'est ce que je pensais,

On fait la convergence monotone en disant que g est lim des gn, gn s'identifie comme vous avez dis a l'integrale de riemann car on est sur un

segment, et en faisant la limite de gn et donc des "segment" on obtient bien l'integrale de riemann généralisée, merci beaucoup vraiment j'ai vraiment compris merci Glozi

Dernière modification par Collateral_ (11-12-2022 01:25:33)

Glozi

Invité

Re : Limite theoreme convergence dominée

Bonsoir,
Tant mieux si c'est clair, je me rends compte que j'ai écrit partout "inégalité" au lieu d'"égalité", il est temps d'aller dormir...
Bonne nuit !