Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

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Fonction non C^1 mais différentiable

Bonjour,

Je sais que toute application [tex]C^1[/tex] est différentiable.

Auriez-vous un exemple d'application différentiable mais non [tex]C^1[/tex] ?
Par [tex]C^1[/tex], j'entends qui admet des dérivées partielles et continues en tout point.

Merci et bonne journée.

Dernière modification par Vincent62 (07-12-2022 05:48:25)

Bernard-maths

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Re : Fonction non C^1 mais différentiable

Bonjour V62 !

Voici peut-être qui te conviendra ? Mais je crois être à côté ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (07-12-2022 08:20:40)

Ginger40

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Re : Fonction non C^1 mais différentiable

Bonjour,

Personnellement j'ai compris que Vincent62 veut parler de fonctions à plusieurs variables.
Pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F$, et $f: E\to F$ :
Il me semble que la définition (même en dimension infinie) de "$f$ est $\mathcal{C}^1$" sur un ouvert $U$ est :

$f$ est $\mathcal{C}^1$ si et seulement si $df$ (différentielle de $f$) est définie sur $U$ et que $x\mapsto df_x$ est continue sur $U$ (continue au sens d'une norme subordonnée entre $E$ et $F$).

Dans le cas d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie (on note $(e_1;\dots;e_n)$ une base) on a l'équivalence :
$$
f \text{ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $U\subset E$} \iff
\left\{
\forall a\in U, \forall i\in\{1;\dots;n\}, \frac{\partial f}{\partial e_i} \text{ existe et $a\mapsto \frac{\partial f}{\partial e_i}(a)$ est continue}\\
\right.
$$
(La preuve est assez dure je crois).
Donc on va difficilement trouver un contre-exemple en dimension finie.
Par contre en dimension infinie je ne sais pas. Même pas sûr qu'on puisse vraiment parler de dérivées partielles à ce niveau (peut-être si c'est un espace de Hilbert séparable par exemple ?)

Fred

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Re : Fonction non C^1 mais différentiable

Bonjour,

  Je ne suis d'accord ni avec BM, ni avec Ginger.
En dimension 1, être différentiable et être dérivable sont synonymes. Les fonctions de B-M ne sont pas dérivables puisque pas continue.
Je ne comprends pas l'argument de Ginger, qui dit que si les dérivées partielles existent et sont continues, alors $f$ est différentiable, alors que Vincent cherche plutôt à trouver un contre-exemple à la réciproque, c'est-à-dire trouver une application différentiable dont les dérivées partielles ne sont pas continues.

Je ne vois pas d'inconvénients à faire cela en dimension 1 (au pire, on ajoute des variables qui n'interviennent pas pour le faire en dimension 2), et on cherche donc une fonction dérivable dont la dérivée n'est pas continue.

Je propose la fonction $f(x)=x^2\sin(1/x)$ dont une étude détaillée se trouve quelque part sur cette liste d'exercices.

F.

Ginger40

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Re : Fonction non C^1 mais différentiable

Bonjour,

Effectivement, j'ai mal lu ce que demandait Vincent62. J'avais en tête "un contre-exemple de fonction dont les dérivées partielles sont continues, mais qui n'est pas $\mathcal{C}^1$"...
Au temps pour moi, merci pour la correction Fred !

Dernière modification par Ginger40 (07-12-2022 11:08:10)

Bernard-maths

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Re : Fonction non C^1 mais différentiable

Bonjour à tous !

@ Fred : Bien sûr je suis "à côté" car non continue = non dérivable !

Mais ce qui m'a poussé, c'est quand même la remarque de Vincent62 :
"Par C1, j'entends qui admet des dérivées partielles et continues en tout point."

Alors il me semble que mes 2 fonctions discontinues en 2 et en 4, sont dérivables sauf en 2 et 4, mais admettent des dérivées à gauche et à droite de 2 et 4 (par prolongement s'il le faut) ... "ce qui les rendraient dérivables" ... et les dérivées seraient continues ...

Bonne digestion pour cette info !

Bernard-maths

PS : je ne sais pas si je encore "à côté" ?

Dernière modification par Bernard-maths (07-12-2022 16:36:11)

bridgslam

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Re : Fonction non C^1 mais différentiable

Bonjour,

Non plus, en 2 (et 4 pareil) , il faudrait que f(2) puisse avoir deux valeurs (impossible pour une fonction), et en en prenant une des deux (normal pour une fonction) l'une des pentes tendra vers l'infini...

Bonne fin de soirée.

A.

Vincent62

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Re : Fonction non C^1 mais différentiable

Merci tout le monde pour les contributions, c'est très instructif.
Effectivement, avec la fonction que propose Fred, j'ai ce qu'il me faut !