Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Une égalité d'indicatrices

Bonjour,

Il y a un point qui me pose problème dans mon cours.
[tex]C[/tex] désigne l'ensemble de Cantor, et [tex]I=]0;1[[/tex].
On cherche à calculer [tex]\int_I cos^2(1_{C^c})d\lambda(x)[/tex].

Je comprends les calculs, sauf la toute première étape (comme par hasard Balthazar), qui constite à affirmer que [tex]1_{C^c}=1_I[/tex] presque-partout ?
Est-ce parce que [tex]C\subset [0;1][/tex] ? Du coup, pourquoi l'ensemble des éléments qui sont dans [tex]C[/tex] et pas dans [tex][0;1][/tex] serait négligeable ?

Merci !

Glozi

Invité

Re : Une égalité d'indicatrices

Bonjour,
On veut montrer que $\mathbb{1}_{C^c} = \mathbb{1}_I$ presque partout (en tant que fonctions de $I$ vers $\{0,1\}$). Autrement dit que $\mathbb{1}_C = 0$ presque partout (pour $\lambda_I$). Quelle est la mesure de Lebesgue de l'ensemble de Cantor ?
Bonne journée

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : Une égalité d'indicatrices

Bonsoir Glozi,

Je ne comprends pas le passage à "autrement dit [tex]1_C=0[/tex] [tex]\lambda_I[/tex]-presque-partout".

Sinon, la mesure de Lebesgue de [tex]C[/tex] vaut [tex]0[/tex], ce qui permet de conclure à l'aide de ton raisonnement, effectivement.

J'ai écrit ceci pour essayer de comprendre ce qu'il se passait...

Supposons que [tex]1_{C^c}=1_I[/tex].
Alors si [tex]x\in C^c[/tex], autrement dit si [tex]x\notin C[/tex], on doit avoir [tex]1_{C^c}(x)=1[/tex] et donc [tex]x\in I[/tex].
Et si [tex]x\notin C^c[/tex], autrement dit si [tex]x\in C[/tex], on doit avoir [tex]1_{C^c}(x)=0[/tex] et donc [tex]x\notin I[/tex].

Il y a quelque chose qui m'échappe.

Glozi

Invité

Re : Une égalité d'indicatrices

Pour faire simple voyons $C$ comme sous ensemble de $I=]0,1[$ (quitte à le remplacer par $C\cap I$)
Posons $E=C^c = I\setminus C$
Alors dire que $\mathbb{1}_E = \mathbb{1}_I$, $\lambda_I$-presque partout signifie juste que $\mathbb{1}_E = \mathbb{1}_I$ sur un ensemble de mesure pleine pour $\lambda_I$ (cela ne veut pas dire qu'il y a égalité partout !)
Autrement dit il faut montrer que $\lambda_I(\{x\in I, \mathbb{1}_E(x)\neq \mathbb{1}_I(x)\})=0$.
Or $\{x\in I, \mathbb{1}_E(x)\neq \mathbb{1}_I(x)\} = \{x\in I, x\in E^c\}=C$ de mesure nulle.
Est-ce plus clair ou toujours pas ?

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : Une égalité d'indicatrices

Merci beaucoup Glozi pour les détails, c'est limpide !

Glozi

Invité

Re : Une égalité d'indicatrices

Tant mieux, dans mon premier message je pensais à dire : $\mathbb{1}_{C^c} \overset{p.p}{=} \mathbb{1}_I \Leftrightarrow 0 \overset{p.p}{=} \mathbb{1}_I - \mathbb{1}_{C^c} \Leftrightarrow 0 \overset{p.p}{=} \mathbb{1}_C.$

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : Une égalité d'indicatrices

Merci Glozi :)

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : Une égalité d'indicatrices

Bonjour Glozi,

En fait, ce qui me gêne, c'est que je n'aurais certainement pas vu que les deux indicatrices étaient presque-partout égales !
Cependant, je comprends parfaitement la démonstration.

Glozi

Invité

Re : Une égalité d'indicatrices

Bonjour,
Sinon on aurait juste pu découper l'intégrale en $2$
$\int_I \cos(\mathbb{1}_{C^c}(x))^2 \lambda(dx) = \int_C \cos(0)^2 \lambda(dx) + \int_{C^c}\cos(1)^2 \lambda(dx) = \lambda(C)\cos(0)^2 + \lambda(C^c)\cos(1)^2$
Et puis utiliser le fait qu'on connait la mesure de $C$ et $C^c$.

Sinon il faut savoir que $\mathbb{1}_A \overset{\mu-p.p.}{=} \mathbb{1}_B \Leftrightarrow \mu(A\Delta B)=0$
($A\Delta B = (A\setminus B) \cup (B\setminus A)$ désigne la différence symétrique entre les deux ensembles).